Pero, ¿qué es el tiempo?

 Es una de esas grandes preguntas para las que nadie tiene una respuesta clara. Aunque nuestra vida cotidiana y toda la ciencia entera se base en el concepto y la medida del tiempo, no entendemos realmente qué es, por qué fluye siempre en una dirección y por qué sólo percibimos el delgado filo que existe entre el pasado y el futuro.

Antes de hablar, en una entrada próxima, de los viajes en el tiempo, intentaremos presentar el concepto desde una perspectiva científica moderna y nos permitiremos elucubrar un poco sobre él.

El tiempo como dimensión

En una entrada anterior vimos que, según el filósofo Immanuel Kant, el tiempo no es algo que podemos percibir con los sentidos, no es algo objetivo que exista en el mundo fuera de nosotros, sino que se trata más bien de una categoría que la mente impone a las percepciones para poder interpretarlas racionalmente. No podríamos concebir el mundo sin imponerle el tiempo (también el espacio, la cantidad y otras categorías).

Por tanto, no es de extrañar que las preguntas sobre el tiempo nos lleven a paradojas imposibles de resolver. Sin embargo, el propio Kant admitía que lo necesitamos para construir una imagen científica del mundo.

Sea como sea, tras el desarrollo de diversas nociones y teorías sobre el tiempo y el espacio en la historia de la filosofía (ver aquí un buen resumen) y de la ciencia (recomiendo el libro de Brian Greene "El Tejido del Cosmos"), en la época actual se ha llegado a una imagen dominada por la Teoría de la Relatividad de Einstein.

La Teoría de la Relatividad describe un tejido del universo formado por cuatro dimensiones: las tres dimensiones de espacio y una dimensión de tiempo. En la siguiente figura se dibujan solamente dos de las tres dimensiones espaciales. En su centro se encuentra la posición de un observador en un lugar y momento determinados. Los conos indican aquellos lugares del espacio tiempo que pueden afectar a este observador (como del pasado) o que el observador puede afectar (cono del futuro), teniendo en cuenta que ninguna información puede viajar más rápido que la luz.

El gran cambio que supuso la teoría de Einstein fue el rechazo del carácter absoluto del espacio y el tiempo como dimensiones separadas. Ambas dependen del movimiento del observador y de la gravedad, tal como vimos en esta entrada anterior. El siguiente video explica de forma gráfica los efectos de contracción de las distancias y dilatación del tiempo.

Sin embargo, contra las interpretaciones populares de la teoría, la Relatividad no acaba con la noción de un espacio y tiempo absolutos. Espacio y tiempo son por separado relativos al movimiento, pero el espacio-tiempo combinado en cuatro dimensiones es absoluto y estático. Todo lo sucedido y todo lo que sucederá en cualquier instante de tiempo está ya contenido en una 'loncha' de este espacio-tiempo 4D.

Einstein pensaba que "Pasado, presente y futuro son sólo ilusiones, aunque sean ilusiones pertinaces", y el físico y divulgador científico Paul Davies lo resume diciendo que "el tiempo, en su marco conceptual, no transcurre, sino que simplemente es". Curiosamente, con la teoría de la relatividad se vuelve a la noción de Parménides de que el cambio realmente no existe, tan solo hay un 'ser' estático.

Recientemente se están elaborando teorías, como la de Wheeler y Spencer, que intentan mostrar cómo el tiempo puede surgir de la atemporalidad, como una mera medida de distancia desde el Big Bang en el espacio de cuatro dimensiones.

Para escapar a esta visión estática y determinista del espacio-tiempo tendríamos que recurrir a la noción de universos paralelos, multiverso o mundos múltiples. Nos referimos aquí no a universos que coexisten en un mismo espacio tiempo 4D o que están separados por otras dimensiones espaciales, sino a universos 4D que están separados por una segunda dimensión temporal como propone el físico Itzhak Bars.

En esta teoría, además de poder movernos por el tiempo normal de nuestro universo podríamos movernos de un universo alternativo a otro utilizando la segunda dimensión temporal.

Otra variante de la misma idea. Según la teoría cuántica clásica, cada partícula puede estar en múltiples estados mientras no se observa. Aunque esta 'superposición de estados' parezca extraña, se comprueba constantemente de forma experimental. Pues bien, según la interpretación de los mundos múltiples de la mecánica cuántica, cuando se mide el estado de una partícula, o en general cuando interactúan partículas con objetos, cada posible resultado aparece en un universo alternativo, y todos ellos son igualmente reales.

La flecha del tiempo

Si la naturaleza del tiempo como dimensión es un misterio, aún lo es más el hecho de que, a diferencia del espacio, esta dimensión parece fluir siempre en la misma dirección y solamente tenemos acceso a un punto de esa "línea temporal" (el presente). Es posible ver las huellas que ha dejado el pasado sobre el momento actual, pero nunca podemos observar el futuro, ni directamente ni mediante 'huellas' en el presente (a menos que creamos en la premonición, la adivinación, etc.).

Se utiliza la expresión 'flecha del tiempo' para referirse a estas características direccionales de la dimensión temporal. La noción tiene varios aspectos, unos físicos (la aparente irreversibilidad de los cambios en el tiempo) y otros psicológicos (la percepción limitada al presente y la visión unidireccional del tiempo).

La expresión 'flecha del tiempo' fue precisamente acuñada por el astrónomo Arthur Eddington en 1927 para abordar el problema de asignar una dirección al tiempo en la teoría de la relatividad.

La paradoja a la que nos enfrentamos es que las ecuaciones de la física, incluyendo la mecánica cuántica, son reversibles en el tiempo. Desde el punto de vista de la física de partículas una película hacia atrás es tan posible como una película hacia adelante. Sin embargo nosotros percibimos siempre en nuestra realidad la 'película hacia adelante': vemos que los vasos se rompen y el agua se derrama, pero no a la inversa. Es la llamada paradoja de Loschmidt.

La explicación habitual desde Eddington es que la flecha del tiempo es causada por la segunda ley de la termodinámica. El desorden (entropía) siempre crece, lo que hace que los procesos donde intervienen muchas partículas y se disipa energía (como el vaso que se rompe) sean irreversibles en el tiempo.

Sin embargo, esta explicación tiene un gran fallo. Presupone lo mismo que pretende explicar: que el tiempo avanza siempre hacia el futuro. La explicación microscópica del segundo principio de la termodinámica dice simplemente que un sistema pasa a estados más probables y que el desorden es más probable, por lo que lógicamente se tenderá a evolucionar a mayor desorden. La interpretación común es que esto sucede al ir avanzando en el tiempo:

Pero, como hemos visto, las leyes microscópicas de la física son reversibles y por lo tanto si suponemos un estado ordenado en un instante y pensamos qué pasaría si retrocediéramos hacia atrás en el tiempo, según las ecuaciones nos encontramos con el mismo resultado: un estado desordenado en el pasado:

Es decir, no hay nada que explique porqué la segunda ley de la termodinámica no funciona también en sentido temporal contrario (hacia el pasado).

¿Cómo se soluciona esta paradoja? Lo normal es utilizar el Big Bang, como hace Brian Greene. El origen del universo que conocemos se produjo en un estado muy ordenado. Si asumimos la versión oficial de la teoria, el espacio-tiempo se creó en ese mismo instante, y así eliminamos la posibilidad de ir hacia atrás en el tiempo desde ese punto de baja entropía: problema solucionado (si se acepta esta explicación):

Otra solución sugiere que en realidad en el Big Bang se crearon dos universos, uno que evolucionó en una dirección de tiempo y otro en la opuesta a partir del momento de la creación, cada uno avanzando hacia estados más desordenados. Nuestro universo podría ser cualquiera de los dos, puesto que no sabemos distinguir la dirección +t de la dirección -t (en ambos casos parece que todo se mueve 'hacia delante' en el tiempo).

Estas teorías se denominan de los dos 'futuros', uno en cada dirección del tiempo.

Otra solución más, cortesía de Roger Penrose, especialista en resolver problemas raros con ideas aún más raras, es que de alguna manera el estado futuro de nuestro universo, con un máximo desorden, se convierte en el Big Bang de un nuevo ciclo universal.

¿Cómo se puede producir este 'reinicio'? La idea de Penrose es que debemos pensar en una escala diferente. Visto por unos seres que vivieran en una escala de tiempo y espacio mucho mayor que la nuestra, el fin de nuestro universo sería equivalente al principio de uno nuevo. Quien quiera intentar entenderlo puede consultar el libro de Penrose.

Elucubraciones bidireccionales

Personalmente no me convence ninguna de las explicaciones anteriores. Podrían explicar porqué la entropía crece a gran escala en el universo, pero no porqué existe una irreversibilidad en las situaciones cotidianas como la rotura de un vaso. Si creáramos una caja completamente aislada del resto del universo, de manera que no le afectara nada de lo que sucede alrededor (y mucho menos la expansión del universo), aún tendríamos que explicar porqué en su interior el desorden solo crece hacia el futuro.

Hay algunos intentos de buscar explicaciones que no utilicen la cosmología. Una es la teoría propuesta por Lorenzo Maccone, basada en el concepto de entropía o información cuántica. Maccone demuestra que en ciertas situaciones, cuando el estado de diferentes partículas está ligado se puede producir una reducción de la entropía en una parte del sistema 'borrando' su estado, aprovechando el hecho de que está enlazado a otras partes del sistema.

Lo que esta teoría sugiere es que sería concebible que en nuestro universo hubiera un flujo de aumento de entropía hacia el futuro y también otro simultáneo de disminución, del que no seríamos conscientes. Esto explicaría que nos parezca 'avanzar' en el tiempo en la dirección de aumento de la entropía.

Puestos a pensar en flujos simultáneos de entropía en direcciones inversas de tiempo, se me ocurre recurrir al concepto de taquión, muy utilizado en ciencia-ficción, que tiene su base en las matemáticas de la Teoría de la Relatividad.

Los taquiones serían partículas hipotéticas con masa imaginaria (compatible en principio con las ecuaciones de Einstein), lo que las dotaría de extrañas propiedades:

• Al contrario que la materia ordinaria (que se mueve siempre a velocidad inferior a la luz), la 'materia taquiónica' se movería siempre con velocidad superior a la de la luz. Por tanto, fuera del cono en el que se mueve la materia ordinaria en el espacio 4D (véase la flecha roja en el siguiente diagrama):

• Al aumentar su energía, los taquiones irían más lentos (en lugar de aumentar su velocidad, como las partículas ordinarias).
• Los taquiones viajarían hacia atrás en el tiempo desde el punto de vista de la materia ordinaria.

De las propiedades anteriores podemos ver que habría tres ámbitos de la realidad respecto al tiempo:

• La materia ordinaria, de masa real. Al aumentar su energía puede moverse más rápido, pero sin llegar a alcanzar el límite de la velocidad de la luz.
• La materia de masa nula (incluye la luz, y quizás los neutrinos y otras partículas de masa cero). No puede moverse a una velocidad diferente a la luz (en el vacío) y el tiempo no transcurre para ella.
• La materia taquiónica (masa imaginaria). Se mueve más rápido que la luz, pero al aumentar su energía disminuye su velocidad, acercándose a la de la luz. El tiempo para ella se mueve en sentido contrario al de la materia ordinaria.

Esta imagen de una realidad dual permitiría conciliar dos flujos de entropía, uno que se moviera hacia el aumento del desorden en el 'futuro' (el nuestro) y otro que aumentara el desorden hacia nuestro pasado, pero en un ámbito de la realidad que no se comunica con el nuestro, preservando la simetría total de la entropía y del tiempo. Aquí queda la idea.

Muchos físicos rechazan la posibilidad real de los taquiones, porque en el caso de que ese ámbito de la realidad pudiera comunicarse con el de la materia ordinaria sería posible recibir señales del futuro y enviarlas al pasado (razón por la cual los taquiones son utilizados por los escritores de ciencia-ficción). Esta situación nos llevaría a las conocidas paradojas causales del tipo: "¿Qué pasa si matas a tu abuelo?". Como trataremos del viaje en el tiempo la próxima entrada, dejamos esa discusión para entonces.

Música intemporal

El tema del tiempo ha inspirado clásicos de la literatura, la pintura y la música. Os dejo una muestra muy personal.

• "Time" de Pink Floyd. Aún apabullante después de tantos años...

• "Time" de Alan Parsons Project. Quizás un poco enmohecido, pero la poesía aún persiste:

• "Twilight", del album "Time" de la Electric Light Orchestra. También se va desplazando a un pasado de baja entropía, pero su energía aún puede activarnos en el presente.

• "Time", tema final de la película "Origen". Demuestra que el tema del tiempo es inmortal e inagotablemente emotivo.

Hasta la próxima (o la anterior, para los que miren desde el futuro),

   Salvador

Cruzando la entrada a otros mundos

 Portales en fantasía y ciencia ficción

 Al estudiar la estructura mítica de las historias vimos que el héroe debe pasar desde su mundo ordinario a un mundo mágico en el que se desarrolla su aventura.

En ciencia ficción y fantasía, esta 'Travesía del umbral' (paso 5) frecuentemente se realiza de forma física, a través de un portal con características mágicas o creado mediante una tecnología o magia superior.

Las entradas o puentes al mundo mágico han existido siempre en las narraciones mitológicas. En la mitología nórdica, el puente Bifrost, que se identifica con el Arco Iris, une el mundo de los hombres (Midgard) con el de los dioses (Asgard). Aquí podemos ver la interpretación de esta conexión en la película Thor.

En la literatura clásica de fantasía, la entrada al mundo mágico puede estar asociada a un objeto o talismán, o aparecer con un objeto cotidiano, como el armario que utilizó C.S.Lewis en su saga de Narnia.

En la película Monstruos S.A. el papel del armario se invierte. Ahora permite a los protagonistas ir desde el mundo mágico al mundo ordinario de los humanos. Pero claro, en esta historia los monstruos son los héroes y los mundos mágico y ordinario también están invertidos.

En la película Los Mundos de Coraline, la niña protagonista encuentra una misteriosa puerta y tras ella un túnel que comunica su casa con un extraño mundo alternativo y surrealista que intenta retenerla. Es una de las mejores películas para ver en 3D, con algunas escenas muy conseguidas, como el paso de Coraline por el túnel.

En la película El Final de la Cuenta Atrás, un moderno portaaviones americano entra en una tormenta espacio-temporal que le lleva atrás en el tiempo (con un cargamento de magníficos actores) hasta la víspera del ataque japonés a Pearl Harbour. ¿Será capaz de cambiar la historia?

El prototipo contemporáneo de portal al mundo mágico aparece en la película y serie Stargate. En estas historias se utiliza un portal circular (encontrado entre unas ruinas egipcias) para acceder a otros mundos de la galaxia según un código de símbolos que representan los diferentes destinos.

Este concepto moderno se basa en la idea de conexiones casi instantáneas entre diferentes puntos del espacio-tiempo utilizando agujeros de gusano, una idea que exploraremos en detalle en alguna otra entrada.

El ejemplo más alucinante y rallante de portal mágico aparece en la película Cómo ser John Malkovich, del siempre interesante director Spike Jonze. En esta historia los protagonistas descubren una puerta (y el correspondiente túnel) que lleva directamente al interior de la mente de John Malkovich y se dedican a vender entradas a los que desean experimentar la vida del famoso actor desde dentro. La cosa se complica cuando el propio Malkovich entra en el túnel que lleva a su mente, creando un extraño bucle autorreferente. Flipante.

En la literatura de ciencia ficción, un ejemplo clásico de portal (o un portal de portales, según se mire) es el que aparece en la novela Pórtico de Frederik Pohl y en sus secuelas.

La humanidad encuentra un asteroide abandonado por una civilización muy avanzada, en la que se encuentran naves capaces de viajar por el espacio hasta otros mundos. Pero nadie sabe descifrar las instrucciones, así que los prospectores deben arriesgar su vida con la promesa de un descubrimiento que les haga ricos. Incluso existe un juego de ordenador sobre el tema.

El mejor tratamiento actual del tema de los portales es, para mí, el que se hace en la saga de los Cantos de Hyperion de Dan Simmons, que ya he mencionado en otras ocasiones. En ella los portales se denominan 'teleyectores' (farcasters). Mediante esta tecnología se puede incluso tener una casa cuyas habitaciones se encuentran en diferentes planetas, como hace el poeta Martin Silenus.

El ejemplo más espectacular de uso de los teleyectores en esta saga es el Río Tethys, cuyo cauce circula entre diferentes mundos a través de portales estratégicamente situados, y que tiene un papel prominente en la segunda parte de la saga.

Os dejo con algunas imágenes inspiradas por este río tan particular:

Como siempre, escribidme si se os ocurren otros ejemplos.

Hasta la próxima,

    Salvador

¿Qué música sonará en el fin del mundo?

No sé por qué será, pero la música que hace retumbar las paredes y los tímpanos con los tonos del fin del mundo me inspira como nada. Este tipo de música es ideal para:

• Ver pelis de zombis
• Fantasear sobre cómo arrasar los bienes materiales e inmateriales de tu jefe/político/cuñado favorito (he dicho 'fantasear', eh)
• Reflexionar sobre la impermanencia del ser y el misterio de la no-existencia
• Despertarse los lunes por la mañana 
• Volver locos a los vecinos convenciéndoles de que perteneces a una secta satánica

Comencemos con un homenaje al recientemente fallecido maestro Claudio Abbado.  El siguiente video demuestra que nadie mejor que otro italiano para sacar todo el juego dramático al brutal Requiem de Verdi, compuesto por éste como homenaje tras la muerte de Rossini.

A pesar de ser frecuentemente utilizado y degradado en cine y publicidad, el Dies Irae sigue impactando con su representación del día del Juicio Final, pero NO OS PERDAIS lo que viene a continuación, a partir de 2:25: el Tuba Mirum es un formidable y despiadado crescendo que da más energía que un litro de Monster.

El Requiem de Mozart también tiene sus grandiosos momentos apocalípticos, sobre todo el Confutatis, que (dice la leyenda) Mozart escribió en su lecho de muerte.

La siguiente escena de Amadeus es, a pesar de las licencias dramáticas, una obra maestra por mérito propio, quizás la mejor escena sobre composición musical de la historia del cine.

Un maestro contemporáneo de lo apocalíptico es John Adams. Recomiendo encarecidamente su divertida ópera Nixon in China, pero para piezas impactantes está este coro de su durísima La Muerte de Klingoffer, que despliega el conflicto palestino-israelí a partir de la historia real del secuestro del Achille Lauro.

Un tema cinematográfico particularmente inspirado es el de Requien por un Sueño, utilizado también en la película Sunshine.

El siguiente video es especialmente interesante por el montaje visual de las diferentes 'voces' que participan en la pieza.

Otro genio loco contemporáneo, con una clara obsesión por el sufrimiento de los personajes y de los espectadores, es Lars Von Trier.

Su película Melancolía utiliza el Preludio de Tristán e Isolda de Wagner, trágicamente romántico, con un devastador efecto visual y emocional, en una historia sobre el fin de nuestro mundo en un sentido literal y figurado. A ver si aguantáis hasta el 'impactante' final.

John Williams sigue siendo uno de los mejores compositores de bandas sonoras, y aunque la trilogía que sirve de precuela a la Star Wars original deje que desear en otros aspectos, no puede negarse que musicalmente mantiene su calidad. En mi opinión el tema Duel of the Fates es el más conseguido, con apabullante coro en sánkscrito, y merece un lugar de honor entre los clásicos apocalípticos.

Aquí tenéis un video que muestra el proceso de grabación del tema y cómo Lucas y Williams colaboraron en su concepción.

Howard Shore nos ofrece en sus composiciones para la trilogía de El Señor de los Anillos muchos pasajes de incomparable altura épica.

La parte más específicamente apocalíptica (titulada apropiadamente "The End of All Things") tiene pasajes bellísimos. Aquí la tenéis en la versión extendida.

Pero en "El Retorno del Rey" hay además dos canciones, fantásticas y terribles, que hablan muy directamente de la muerte y la pérdida. Una de ellas ("Edge of Night") está basada en un poema de Tolkien. La canta Pippin cuando Faramir es enviado a una muerte segura:

La otra canción es la preciosa Into the West, ganadora de un Óscar, que describe el pasaje final de los portadores de los anillos: Frodo, Gandalf y Galadriel, al mundo de los inmortales (sobre la geografía mítica de Tolkien podéis ver esta entrada).

Espero vuestras sugerencias musicales sobre el fin del mundo.

Feliz apocalípsis,

    Salvador

Música para un monstruo marino

 Un paréntesis para mostraros algo que me ha encantado y alegrado mucho. Mi primo Juan Diego Jaen se ha inspirado en La Ciudad de Las Esferas, y en especial en el personaje de Vliror, un afable monstruo marino que acompaña al protagonista, en esta composición ilustrada con imágenes del blog.

A mí, como soy un negado para la música, llegar a componer, interpretar y mezclar algo así me parece magia (de la buena).

Juan Diego es autor literario por derecho propio, como podéis ver aquí, y tiene todo un canal de YouTube dedicado a sus composiciones originales y videos.

Gracias, Juan Diego, y sigue poniendo música y arte al mundo.

Un abrazo,

    Salva

Las paradojas de la razón autorreferente (2/2): Gödel, Turing, Wittgenstein.

¿Es la aritmética consistente y completa?

En la primera parte de esta entrada vimos que el eminente matemático David Hilbert plantea a principios del siglo XX dos cuestiones fundamentales cuya respuesta era necesaria para cumplir su programa de fundamentar las matemáticas sobre una segura base formal.

El objetivo de la comunidad matemática era (y aún lo es) crear sistemas axiomático-deductivos con los que pudieran demostrarse en forma de teoremas todas las fórmulas o enunciados verdaderos expresables en el sistema (completitud) y además no pudieran generarse falsedades (consistencia). También, idealmente, debería haber un método mecánico o determinista para decidir si cualquier fórmula es verdadera o no (decibilidad).

• Hilbert plantea en 1900 que es necesario probar la consistencia de los axiomas de la Aritmética, es decir, que no se pueda deducir mediante reglas lógicas ninguna contradicción a partir de los axiomas referidos a los números naturales y las operaciones de suma y multiplicación.

• Posteriormente, en 1928, Hilbert y Wilhelm Ackermann añaden el llamado problema de la decisión: encontrar un proceso formal (un algoritmo) que de forma mecánica pueda decidir si una fórmula o enunciado es verdadero (demostrable) o no lo es. En realidad este problema tiene a su vez dos partes:
• Primero, habría que probar que el sistema axiomático es completo (que permite decidir si cualquier fórmula o enunciado con sentido es verdadero o falso)
• Segundo, habría que encontrar el algoritmo o proceso mecánico para tomar esta decisión. Como pasos hacia este objetivo, en 1936 Alonzo Church formalizó el concepto de algoritmo en forma funcional con su cálculo lambda y Alan Turing en forma computacional con la máquina de Turing.

Veremos que debido precisamente a la autorreferencia de los sistemas de razonamiento formal que vimos en la entrada anterior, la respuesta a estos problemas es negativa. La aritmética y todos los sistemas formales y computacionales que incluyen a la aritmética no son completos ni decidibles, y tampoco se puede probar que sean consistentes.

Gödel demuestra la incompletitud de la Aritmética y la indemostrabilidad de su consistencia

El primer paso para mostrar las limitaciones de la formalización de la matemática (y los programas de fundamentación lógica de Rusell y los positivistas lógicos) fueron los llamados Teoremas de Incompletitud que el joven matemático Kurt Gödel publicó en 1931 con el título "Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados".

El primer teorema afirma que:

Cualquier teoría aritmética recursiva que sea consistente es incompleta

Es decir, una teoría que incluya a la aritmética, no puede ser a la vez consistente y completa.

La elegancia en la demostración de Gödel y su impacto rompiendo la estructura monolítica de la lógica clásica se ha comparado muchas veces a la de la Teoría de la Relatividad de Einstein. Por cierto que Einstein y Gödel se hicieron muy amigos cuando ambos se encontraron trabajando en la universidad de Princeton tras huir de una Europa amenazada por la Alemania nazi.

Vayamos a la maravillosa demostración de Gödel, que es en realidad sencilla de comprender a partir de la paradoja del mentiroso que vimos en la entrada anterior. La idea es sencilla de entender, pero los detalles requieren un poco de atención  :-)  Si os perdéis, al menos podéis ver este interesante vídeo:

Primero, Gödel muestra cómo las teorías formales de la aritmética son recursivas, es decir, autorreferentes. Veámoslo:

• Las variables utilizadas en las fórmulas o enunciados de la aritmética se refieren a números naturales (0, 1, 2...), por ejemplo, a, b y c representan números cualquiera en esta fórmula:

• Los símbolos que aparecen en las fórmulas, incluyendo las variables, operadores matemáticos (suma, multiplicación) y los símbolo lógicos (igualdad, implicaciones, cuantificadores), se pueden también representar como números, llamados códigos o números Gödel, y todos los códigos que aparecen en una fórmula se pueden combinar para representarla como un único número, utilizándolos como exponentes de los sucesivos números primos y luego multiplicándolos. Este proceso se llama numeración de Gödel o godelización y podéis comprobarlo en esta aplicación.

Lo importante es que a cada posible fórmula de la aritmética le corresponde un número único que representa unívocamente esa fórmula.

• Como conclusión de los anteriores puntos, los números referidos por las variables que aparecen en una fórmula (a,b, x, y...) pueden ser los códigos de otras fórmulas, y por tanto, las fórmulas de la aritmética pueden expresar enunciados sobre sí mismas: tienen la capacidad de ser autorreferentes.

En el segundo paso, Gödel construye un enunciado que representa el hecho de que una fórmula x es derivable (demostrable) en el sistema axiomático. Es posible construir este enunciado porque cada operación de derivación en el sistema formal de la aritmética se puede ver como una combinación de operaciones aritméticas sobre los códigos Gödel de las fórmulas.

D(x)   :   la fórmula x es demostrable

Por otra parte, supongamos que una fórmula f usa una variable y, e imaginemos el proceso de sustituir y en la fórmula f por el número Gödel de f. Podemos definir una fórmula o función que representa esta operación, que llamaremos AutoGodelización:

x = AutoGodel(f)  :  x es la fórmula que resulta al sustituir en la fórmula f la variable y por el propio código de f

En el último paso, utilizaremos estos enunciados aritméticos para construir una fórmula que afirma de sí misma que no es demostrable (fórmula G). Es un claro paralelismo con la paradoja del mentiroso, pues G utiliza una combinación de autorreferencia y negación. Vemos cómo se hace. Primero construimos esta fórmula:

Fórmula g   :   no es cierto que (D(x) y además x = AutoGodel(y))
(no es cierto que x sea demostrable y al mismo tiempo sea la AutoGodelizacion de y)

Ahora creamos la AutoGodelización de la fórmula g, sustituyendo y por el código numérico que corresponde a la fórmula (llamamos g a este número, para abreviar) y llamaremos G a la fórmula resultante de la sustitución:  G = AutoGodel(g). Por tanto, al cambiar y por g resulta:

Fórmula G = AutoGodel(g)  ==>   no es cierto que (D(x) y además x = AutoGodel(g))

Como hemos definido G = AutoGodel(g), es obvio que x es igual a G en la parte derecha de la fórmula, y es por esta razón por la cual la fórmula G habla de sí misma:

Fórmula G   :   no es cierto que (D(G) y además G = AutoGodel(g))

Como la segunda parte es obviamente cierta por la definición de G, lo que la fórmula G dice en realidad es:

Fórmula G    :    no es cierto que D(G)

Dicho de otra manera:

Fórmula G:  "La fórmula G no es demostrable"

Ahora pensemos, ¿es la fórmula G verdadera o falsa?

• Si la suponemos verdadera entonces, según ella afirma, no es demostrable. Como consecuencia, el sistema de la aritmética sería incompleto, incapaz de demostrar una fórmula que es verdadera.
• Si la suponemos falsa entonces lo contrario sería cierto: la formula G sería demostrable. Pero esto implicaría que el sistema de la aritmética es inconsistente, pues permite demostrar una fórmula falsa.

De donde se sigue que o bien el sistema de la aritmética es incompleto (si G se considera verdadera) o bien inconsistente (si G se considera falsa). 

Lo cierto es que Gödel consigue demostrar que G es verdadera. Por la forma en que se ha construido como negación de todas las posibles derivaciones, Gödel y cualquier humano que siga la demostración sabe que G no se deriva de los axiomas de la aritmética, pero ella misma afirma que no es demostrable dentro del sistema. Esto tiene la profunda implicación de que existen verdades expresables en las teorías que incluyen a la aritmética (enunciados que podemos ver que son verdaderos) que las mismas teorías no pueden demostrar.

En su segundo teorema, Gödel demuestra que la fórmula G es verdadera si y solo si la fórmula A: "El sistema de la aritmética es consistente" es verdadera. Como consecuencia, tampoco esta fórmula A es demostrable, y por tanto la consistencia de la aritmética no es demostrable, aunque sea verdadera.

La conclusión es que desde dentro de un sistema de razonamiento formal podemos hacer muchas cosas, pero no podemos ni demostrar todas las verdades posibles (aunque sean expresables en nuestro sistema), ni tampoco demostrar que nuestro sistema no va a generar falsedades, aunque es posible que desde fuera del sistema podamos demostrarlo.

Esta conclusión ha sido utilizada por Roger Penrose y otros autores para argumentar que la mente humana es superior a cualquier ordenador o sistema computacional que pudiera construirse. Sin embargo, otros autores como Douglas Hofstadter han mostrado la falacia de esta interpretación (ver el libro "Gödel, Escher, Bach" más abajo): tanto la mente humana como los 'sistemas algorítmicos' pueden razonar sin estar limitados a trabajar dentro de un sistema formal.

El problema de la decisión: Church y Turing

Tras los teoremas de Gödel en 1931, el mundo de la lógica y la matemática se quedaron en choque. Los objetivos de Hilbert de demostrar la consistencia y la completitud de la aritmética (la más simple de las teorías matemáticas) se revelaron imposibles y se puso en cuestión la firmeza de los sistemas formales como sustento del conocimiento, un factor decisivo en el abandono del programa del positivismo lógico, y el impulso para que nacieran otras concepciones del lenguaje y la epistemología (como veremos más abajo, con el segundo Wittgenstein).

Mientras tanto, aún quedaba por resolver otra de las preguntas de Hilbert, el problema de la decisión. ¿Sería posible desarrollar un método mecánico o algoritmo para saber si una fórmula de la aritmética es demostrable o no? ¿Qué pasaría si existiera un sistema de decisión así y se le pidiera determinar la demostrabilidad de la fórmula de Gödel?

Para resolver el problema de la decisión había primero que desarrollar un modelo formal de un 'método mecánico o algoritmo'. El primero en hacerlo fue Alonzo Church con su cálculo lambda, basado en la definición de funciones recursivas. Los que seáis programadores ya sabéis lo que son, y los que no... pues tendrías que estudiarlo, y esta es la razón de que los trabajos de Church no sean hoy muy conocidos comparados con los de Turing.

La prueba de indecibilidad de Church es muy similar a la de Gödel. Church construye una función recursiva que al aceptar como entrada un código numérico que la representa a ella misma genera una contradicción.

Poco después, el matemático inglés Alan Turing crea en su tesis doctoral otro modelo formal de computabilidad, la máquina de Turing, y demuestra que el problema de decisión es equivalente al problema de si existe o no una máquina de Turing capaz de determinar si una máquina cualquiera se detendrá o no al presentársele una entrada de datos: es el llamado problema de la parada.

Nadie mejor que el propio Turing para explicarlo (en realidad se trata del personaje de Turing en el docudrama de la BBC Breaking the code):

El video que sigue explica perfectamente (y de manera divertida) como Turing demuestra que el problema de la parada no es resoluble. NO OS LO PERDAIS. Si los subtítulos no se activan solos, pulsad el botón CC y seleccionar la opción de traducción al español:

Poco después de las demostraciones de indecibilidad de Church y Turing, se hizo evidente que sus dos modelos de computabilidad eran equivalentes. Ambos pueden representar cualquier algoritmo. Esta afirmación, la llamada Tesis de Church-Turing, es indemostrable, pero nadie ha encontrado un contraejemplo: un proceso que sea calculable pero que no pueda realizar una máquina de Turing o una función lambda.

Por tanto, vemos que la capacidad de estos instrumentos formales para trabajar con representaciones de sí mismos les lleva a la imposibilidad de decidir la verdad o falsedad de ciertas cuestiones.

El lenguaje y lo que hay más allá: Wittgenstein

La vida y obra de Ludwig Wittgenstein merece seguramente varias películas y un blog dedicado a él solo. Confieso que se trata de mi filósofo favorito, tanto por lo dramático de su vida como por lo original y profundo de su pensamiento.

Wittgenstein abandonó a su rica familia vienesa (que le desheredó) y se marchó a estudiar aeronáutica a Inglaterra, donde le atrajo más el desarrollo de la lógica y los fundamentos de la matemática que Bertrand Russell (de quien hablamos en la entrada anterior) llevaba a cabo en Cambridge. Así que se convirtió en estudiante de Rusell, o más bien en un colega advenedizo que pasaba horas discutiendo con él y cuestionando las conclusiones y el programa de su supuesto mentor.

En un principio los objetivos de Wittgenstein parecían coincidir con los de Rusell y los positivistas lógicos del Círculo de Viena, incluso iban más allá de lo que éstos planteaban.

Wittgenstein no sólo quería fundamentar lógicamente las matemáticas, sino el lenguaje mismo, y dado que según pensaba el lenguaje determinaba la forma en que podemos pensar la realidad, estaría fundamentando así también la ontología y el conocimiento del propio mundo.

Sus ideas estaban relacionadas con las de Immanuel Kant (ver la primera parte de la entrada), solo que en lugar de ser las categorías kantianas de espacio, tiempo y causalidad las que determinan la realidad que podemos pensar con sentido, para Wittgenstein es la forma lógica del lenguaje la que define qué se puede comprender y expresar acerca de la realidad.

Wittgenstein desarrolla esta teoría en uno de los libros más fascinantes que existen, el Tractatus Logico-Philosophicus, donde en cortas sentencias numeradas, el filósofo mezcla los fundamentos de la Lógica (Wittgenstein desarrolló el método de las tablas de verdad y contribuyó la clarificar la lógica de predicados) con un intento de delimitar lo que se puede conocer con sentido. En apariencia, sería un programa similar al del positivismo lógico.

Pero aunque utiliza herramientas lógicas similares a Rusell y los positivistas, las intenciones de Wittgenstein son totalmente diferentes. Quiere mostrar que lo verdaderamente importante (la ética, la estética, la metafísica, el sentido del mundo, nuestros problemas vitales), lo que él denomina lo 'místico', es inalcanzable en el marco de la lógica, de la ciencia y del lenguaje. No puede 'decirse' con sentido, solo puede 'mostrarse'.

Vale la pena incluir aquí algunas de las proposiciones finales del Tractatus (podéis encontrar el texto completo aquí):

6.41 El sentido del mundo tiene que residir fuera de él. En el mundo todo es como es y todo sucede como sucede; en él no hay valor alguno, y si lo hubiera carecería de valor. 

 Si hay un valor que tenga valor ha de residir fuera de todo suceder y ser-así. Porque todo suceder y ser-así son causales. 

...

6.421 Está claro que la ética no resulta expresable. La ética es trascendental. (Etica y estética son una y la misma cosa.) 

...

6.521 La solución del problema de la vida se nota en la desaparición de ese problema. (¿No es ésta la razón por la que personas que tras largas dudas llegaron a ver claro el sentido de la vida, no pudieran decir, entonces, en qué consistía tal sentido?) 

...

6.522 Lo inexpresable, ciertamente, existe. Se muestra, es lo místico. 

Wittgenstein coincide con las tradiciones místicas y la filosofía oriental en la conclusión de que el enigma de las cuestiones últimas no puede resolverse ni explicarse con el lenguaje, y tiene que ver más con la liberación de las ataduras del propio lenguaje.

Wittgenstein también aborda desde esta perspectiva la duda de Kant sobre las ideas como el infinito, la eternidad, el Alma, el Mundo y Dios, y llega a una conclusión similar: estas ideas se sitúan más allá del lenguaje, están fuera del ámbito de lo que se puede decir con sentido.

6.45 La visión del mundo sub specie aeterni es su visión como-todo-limitado. El sentimiento del mundo como todo limitado es lo místico. 

Lo más fascinante para mí del Tractatus es que, aunque fue publicado en 1921, 10 años antes de la demostración de Gödel, el mismo libro se convierte en una gigantesca fórmula de Gödel que se niega a sí misma.

Wittgenstein se da cuenta de la que la filosofía no puede decir nada con sentido, pues trata de ideas que no tienen un significado dado por los hechos o la lógica.

Por tanto, el propio Tractatus se niega a sí mismo. Lo que el libro dice debe ser desechado después de leerlo, y lo único que queda a Wittgenstein es callarse, pues lo que hay más allá del lenguaje solo puede mostrarse. 

6.53 El método correcto de la filosofía sería propiamente éste: no decir nada más que lo que se puede decir, o sea, proposiciones de la ciencia natural - o sea, algo que nada tiene que ver con la filosofía ...

6.54 Mis proposiciones esclarecen porque quien me entiende las reconoce al final como absurdas, cuando a través de ellas -sobre ellas- ha salido fuera de ellas. (Tiene, por así decirlo, que arrojar la escalera después de haber subido por ella.) Tiene que superar estas proposiciones; entonces ve correctamente el mundo. 

7 De lo que no se puede hablar hay que callar. 

Debe ser el único caso de la historia en que un filósofo ha llegado a la conclusión de que debe callarse  :-)  Y la realidad es que Wittgenstein fue coherente con su diagnóstico y dejó la filosofía durante muchos años, hasta que se dio cuenta de que estaba equivocado (y muriéndose de hambre).

Obsérvese el paralelismo con los teoremas de Gödel, Church y Turing. El Tractatus es como la fórmula G: podemos reconocer que lo que dice es cierto, que realmente muestra que el lenguaje 'con sentido' tiene límites. Sin embargo, precisamente por estar construido con lenguaje (como la fórmula G está construida con un sistema formal), no tiene sentido él mismo. Otra paradoja de la razón autorreferente.

Si os interesa aprender algo más sobre Wittgenstein, os recomiendo este episodio de La Aventura del Pensamiento donde Fernando Savater explica la filosofía de este autor. Concretamente, a partir del minuto 9 habla del Tractatus, y en el minuto 11 de los ímites de lo decible:

En una fase posterior de su vida, Wittgenstein cambia su concepto del lenguaje, y lo basa no en la lógica formal, sino en las reglas que los mismos hablantes definen (implícitamente) y que pueden dar lugar a diferentes usos igualmente válidos. Como en diferentes 'juegos', no hay unos lenguajes más verdaderos que otros: cada uno es válido si sirve a los propósitos de los jugadores, si sigue sus reglas internas.

Aquí tenemos al mismo Wittgenstein explicándolo, en la película de Derek Jarman que lleva su nombre:

Para más diversión...

Varias ilustraciones de la primera y segunda parte de esta entrada están sacadas del maravilloso comic Logicomix, que relata de forma entretenida (con las pequeñas licencias dramáticas necesarias) la historia de Rusell, Gödel, Church, Turing y Wittgenstein en su implacable búsqueda de la verdad sobre los fundamentos de la lógica y las matemáticas.

También he utilizado ideas y adaptado la demostración del teorema de Gödel de uno de mis libros favoritos: Gödel, Escher, Bach: un Eterno y Grácil Bucle, con el que el matemático, filósofo y divulgador científico Douglas Hofstadter obtuvo el Premio Pulitzer. Se trata de uno de los libros que, a pesar de su volumen, se pueden disfrutar más por su humor, originalidad y profundidad.

Además, ¡averigüé hace poco que el mismo Philip K. Dick lo había leído y disfrutado él mismo!

La siguiente fotografía se parece bastante al estado de mi copia de esta joya, tras varias lecturas y mudanzas por el mundo:

Os dejo en buenas manos, hasta la próxima.

    Salvador

La presentación de "La Ciudad de las Esferas" en Hispacon 2013

Gracias a la organización de la Hispacon 2013, y en especial del mago de la tecnología audiovisual, Jose Nieto, tenemos ya publicada la presentación completa de mi libro "La Ciudad de las Esferas" que se realizó en Quart de Poblet con la participación estelar de Emili Piera.

Os pongo aquí el vídeo. También podéis consultarlo con otras fantásticas conferencias y presentaciones en la Web de la Hispacon.

En esta entrada anterior podéis ver la introducción realizada con la tecnología de captura de movimiento de la Universidad de Valencia, y la explicación de cómo se hizo.

Hasta la próxima,

    Salvador