Una calculadora para viajes interestelares:

  Un dilema de los escritores de ciencia-ficción

   Cuando un escritor se plantea escribir una historia que incluye viajes interestelares a gran velocidad, se enfrenta a un dilema:

• Puede seguir la teoría de la relatividad de Einstein, la descripción más exacta y verificada de que disponemos sobre la estructura del espacio-tiempo y el movimiento a gran velocidad. Si aceleramos lo suficiente, la velocidad del viaje puede ser muy grande, pero en ningún caso puede superar a la velocidad de la luz.

• Otra opción es saltarse la relatividad especial para evitar el límite de la velocidad de la luz. Esta opción implica algún mecanismo que permita retorcer el espacio ordinario o viajar por el hiperespacio, extraño 'lugar' en el que no rigen las leyes habituales de la física y sirve de puente más o menos instantáneo entre dos lugares alejados. 

Aquí tenéis una explicación muy sencilla de esta segunda opción, tal como aparece en la película Interestelar:

La relatividad general explica cómo la gravedad deforma el espacio-tiempo, por lo que en principio sería posible viajar por un "túnel" de este tipo creado por una distorsión de su estructura.

Sin embargo, el escritor de ciencia-ficción aún debe afrontar el hecho de que el tiempo transcurrido para los viajeros sería muy diferente al que habría pasado en los lugares de salida y llegada. Este problema se suele ignorar, asumiendo un concepto de simultaneidad temporal válido para todo el universo, algo que la relatividad especial demuestra que es falso.

En esta entrada explicaré de una manera sencilla hasta dónde puede llegarse en la narrativa respetando la Teoría de la Relatividad sin los "atajos" de los agujeros de gusano y dispositivos similares. Además, os daré una herramienta para calcular correctamente el efecto temporal de los viajes interestelares a gran velocidad y así poder manejar situaciones como la paradoja de los gemelos.

   Espacio-tiempo en la Teoría de la Relatividad

Para entender la Teoría de la Relatividad, el tiempo debe considerarse como una cuarta dimensión muy similar a las tres dimensiones habituales del espacio. Cualquier evento está definido por 4 coordenadas: 3 de posición en el espacio + 1 posición en el tiempo.

Desde este punto de vista, la idea esencial de la Teoría de la Relatividad es que la distancia en el espacio (tamaño, separación) puede cambiar según el punto de vista del observador, y la distancia en el tiempo (duración) también puede hacerlo. Tanto espacio como tiempo son relativos al verse por separado, pero en realidad la distancia entre dos eventos en el espacio-tiempo (considerando las 4 dimensiones) es independiente del observador: es absoluta.

Si representamos el espacio con sólo 2 dimensiones, y añadimos el tiempo como tercera dimensión vertical, tenemos una figura como la siguiente. Para un observador situado en un cierto punto, todos los eventos del pasado desde los que podría llegarle información caen dentro de un cono cuyo vértice termina en lugar/momento donde se encuentra (este es el "cono de luz del pasado"). Para poder enterarse de lo que ha sucedido fuera de ese cono, tendría que recibir señales que viajan más rápido que la luz, lo cual no es posible.

De la misma forma, desde el momento y posición actual podemos enviar información que afecta al futuro, pero solamente a aquella parte del universo que se encuentra dentro del "cono del futuro". Para llegar a otros puntos del espacio-tiempo fuera de este cono tendríamos que enviar señales u objetos más rápidos que la luz.

Si utilizamos como unidades de distancia los años-luz (distancia recorrida por la luz en un año) y el año como unidad de tiempo, entonces el límite de la velocidad de la luz (el borde del cono) forma un ángulo de 45 grados con el eje del tiempo.
 

    Relatividad del tamaño/distancia y la duración

La cosa se complica en la Teoría de la Relatividad al darnos cuenta de que la visión del espacio-tiempo cambia para un observador que se mueve a una velocidad diferente a la nuestra.

Para explicar cómo sucede esto voy a recurrir primero a una analogía y luego veremos la solución correcta.

Supongamos que tenemos una sola dimensión de espacio. La parte izquierda de la siguiente figura muestra un diagrama espacio-tiempo con un objeto en reposo (una barra rígida de longitud L), que emite cierta señal (p.ej. cambia de color) cada cierto tiempo T. En el diagrama, la barra se convierte en una banda que se extiende en la dirección del eje del tiempo, verticalmente.

En el mundo tridimensional podemos ver una perspectiva diferente de un objeto al cambiar de punto de vista. Si vemos un objeto girado, su anchura y profundidad aparentes son diferentes a las originales. Esto se llama un cambio del sistema de referencia.

También en el mundo de 4 dimensiones tenemos diferentes perspectivas de un mismo objeto espacio-temporal según nuestro sistema de referencia. Por ejemplo, en la parte derecha de la figura vemos qué pasa si giramos en el espacio-tiempo la banda que representaba a la barra en reposo.

Al cambiar el sistema de referencia, la anchura horizontal de la cinta (tamaño del objeto en la dimensión espacio = L') se ha hecho mayor que la original L. Parecería que la barra se ha estirado o dilatado. Por otra parte, la separación temporal (T') entre los cambios de color de la barra sería menor que la separación original T. Nos parecería que el tiempo se ha contraído para la barra, que sus cambios son más rápidos. 

Esto es sólo una analogía. Según la Relatividad, ¡el efecto real va a ser justo el contrario!

También observamos en la figura girada que el cambio de color en la barra ya no se produce al mismo tiempo en todos sus puntos, es decir, la transformación también ha cambiado la simultaneidad del tiempo.

El verdadero efecto relativista de la velocidad: la transformación de Lorentz-Fitzgerald

Einstein partió de dos postulados en la Relatividad Especial: 1) La velocidad de la luz debe ser la misma para todos los observadores, y 2) Un observador no puede notar ningún cambio en las leyes de la física sea cual sea la velocidad constante a la que se mueva (un principio que ya había enunciado Galileo). Einstein descubrió que la única manera de que se cumplieran estos principios a la vez era que cuando un observador se mueve a cierta velocidad, cambia su sistema de referencia en el espacio-tiempo, lo cual tiene sentido, puesto que la velocidad es precisamente el cociente entre el espacio y el tiempo.

Este cambio de referencia no es un giro como el que hemos visto en la analogía anterior, sino una especie de sesgo simétrico hacia la línea de movimiento de la luz (el borde de los conos de luz). Se trata de una transformación sencilla de calcular, llamada transformación de Lorentz-Fitzgerald.

Por ejemplo, las siguiente figuras muestra cómo cambian los ejes de espacio (d') y tiempo (t') respecto a los originales (d, t) cuando el observador se mueve a un tercio de la velocidad de la luz (izquierda/arriba) y a dos tercios (derecha/abajo), aproximándose progresivamente a las líneas amarillas (que representan la velocidad de la luz):

Al igual que hemos visto para la rotación, la distancia espacial (d/d') y temporal (t, t') entre dos eventos (punto rojo y punto verde) cambia para un observador que se mueve relativamente a ellos (podéis probarlo en esta página):

Por tanto, ¿qué sucede cuando nos movemos respecto a un objeto, según la transformación de L-F?

• Cuando más grande sea la velocidad relativa, veremos que el tamaño del objeto se contrae más en la dirección de movimiento. En el límite de la velocidad de la luz, el tamaño observado del objeto se haría cero. Aquí tenéis una descripción detallada.

• Cuando más grande sea la velocidad relativa, el tiempo se dilata más para el objeto, es decir, que el tiempo transcurre más lentamente para él. En el límite de la velocidad de la luz, el tiempo nos parecería que se detiene para el objeto (por esta razón las partículas de luz, a diferencia de otras, son "eternas", no sufren cambios).

Al igual que las rotaciones, la transformación L-F tiene una importante propiedad: es reversible y simétrica. Si un/a colega nuestr@ pasa volando frente a nosotros a una velocidad constante, vemos que su tiempo se dilata y su tamaño se contrae en la dirección de movimiento, pero él/ella ve exactamente el mismo efecto en nosotros.

Viajando con aceleración: la paradoja de los gemelos

Sigamos explorando qué pasa con dos hermanos gemelos, uno que está en la Tierra y otro que viaja por el espacio en una nave capaz de alcanzar grandes velocidades. El efecto de la transformación de Lorentz-Fitzgerald es totalmente simétrico mientras la velocidad relativa sea constante. Mientras se mantenga la misma velocidad y la misma dirección de movimiento, cada gemelo verá lo mismo: que el otro envejece más lentamente.

Sin embargo, si la velocidad y la dirección se mantienen constantes, no es posible que los gemelos se vuelvan a encontrar. Para que esto suceda, uno de ellos (el que viaja en la nave) tiene que cambiar de velocidad para volver a la Tierra. Tras acelerar para alcanzar su velocidad máxima, deberá decelerar (reducir su velocidad y cambiar de dirección) para regresar junto a su gemelo. Es decir, el gemelo viajero cambiaría su sistema de referencia para la transformación de L-F, mientras que el que se queda en la Tierra no aceleraría.

Alguien puede objetar que la aceleración también es simétrica: si A está acelerado respecto a B, B también lo está respecto a A. Esta es la clave: así como las leyes de la física son invariantes respecto a la velocidad constante, no lo son respecto a la aceleración, y al existir aceleración se rompe la simetría entre los dos observadores. Entonces, ¿quién envejece más, el que se ha quedado en la Tierra o el que se marcha en la nave?

El que sufre la aceleración, el gemelo de la nave, envejece menos: sufre una dilatación real del tiempo respecto al gemelo de la Tierra, para el que el tiempo transcurre más rápidamente.

En este video podéis ver una divertida versión animada de la paradoja de los gemelos:

Y en este otro vídeo tenéis la explicación técnica. También hay una discusión detallada con gráficos aquí.

Quizás la aplicación más conocida de esta paradoja de los gemelos aparece en "El Planeta de los Simios". Unos astronautas en hibernación regresan a la Tierra. Para ellos ha pasado muy poco tiempo, pero en el planeta han transcurrido unos 2.000 años, lo que ha dado tiempo a que los simios hayan creado su propia civilización:

Calculadora para viajes interestelares

A todos los efectos, la paradoja de los gemelos se produce de la misma manera si, en lugar de volver a la Tierra, el viajero llega a otro sistema solar. Al frenar en su destino, el astronauta vuelve al mismo marco de referencia "en reposo" de la Tierra, ya que la velocidad relativa entre la Tierra y el sistema solar de destino es pequeña. Desde su punto de vista, el astronauta ha viajado "hacia el futuro".

Debido a este efecto relativista, el viajero puede recorrer enormes distancias por el universo en un tiempo compatible con su propia vida. De hecho, si tuviera una nave con una fuente de energía adecuada y protección contra la terrible radiación que recibiría, podría en principio cruzar la Vía Láctea y viajar hasta otra galaxia antes de morir.

Si este viajero tuviera una tecnología para comunicarse instantáneamente con la Tierra (rompiendo la limitación de la velocidad de la luz), comprobaría que su hermano terrestre ha envejecido mucho más que él y (desde su punto de vista) no tardaría mucho en morir de viejo.

Por cierto, en ciencia-ficción se da mucho esta situación: en una misma historia se respeta el límite de la velocidad de la luz para la materia (naves, astronautas), también se utilizan sistemas de comunicación instantáneos como el ansible (introducido por Ursula K. LeGuin y utilizado por otros muchos, como Orson Scott Card), que violan esta limitación.

A propósito, en esta entrada hablo de la tecnología para los viajes interestelares   :-)

De momento os dejo con una herramienta que podéis utilizar para calcular los parámetros de un viaje interestelar: por un lado, cuánto tiempo transcurre en el planeta origen o destino del viaje, y por otro lado, cuánto envejece el viajero espacial durante el trayecto.

Aquí podéis ver una simulación gráfica y abajo tenéis una sencilla tabla de cálculo basada en estas fórmulas. Solo tenéis que indicar la distancia del viaje y la aceleración de la nave (asumiendo que la aceleración es constante durante todo el viaje, primero para acelerar y luego para frenar). Como resultado obtendréis el tiempo transcurrido en el sistema de referencia de los planetas, el tiempo transcurrido para el viajero y la máxima velocidad punta alcanzada a mitad del viaje.

Notad como la diferencia de tiempos se hace muy grande a medida que la distancia se agranda.

PODÉIS ACCEDER A LA VERSIÓN INTERACTIVA de la hoja de cálculo AQUÍ (usad vuestro usuario de Google).

(1) Aceleración de la nave espacial durante su viaje (1 g es la aceleración equivalente a la fuerza de gravedad en la superficie de la Tierra). Los humanos no pueden soportar aceleraciones de varias g durante un largo tiempo (el peso se multiplica por este número).
(2) Distancia del viaje en años-luz  (la estrella más cercana está a 4.24 años-luz)
(3) Tiempo transcurrido en el sistema no acelerado (planeta de partida o destino)
(4) Tiempo transcurrido para los ocupantes de la nave
(5) Velocidad máxima alcanzada por la nave (1.0 sería la velocidad de la luz)


Bien, escritores de ciencia-ficción, ya no tenéis excusa para ignorar la Teoría de la Relatividad en vuestras historias de viajes interestelares. En la Trilogía de las Esferas podéis verla aplicada tal como os he explicado  ;-)

Hasta la próxima,

    Salvador