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Gracias a la magia audiovisual de José Nieto, los que no pudisteis venir a la presentación de "El Juego de las Esferas" en la Librería Café Ubik en Valencia, tenéis ahora ocasión de verla en vídeo.
Como veréis, el contenido de la charla fue sobre todo divulgativo, aunque también espero haber dado algunas claves sobre la Trilogía de las Esferas que pueden no ser visibles a primera vista.
Quiero dar la gracias a todos los que participasteis en vivo, y muy especialmente a Carolina García, que me ayudó con la presentación.
La próxima charla sobre "El Juego de las Esferas" será en la Hispacon, con la inestimable ayuda del periodista, escritor y guionista Emili Piera.
El pasado 6 de Diciembre presenté en la Hispacon 2014 (MIRCon) una conferencia sobre Frank Herbert y cómo refleja su visión sobre la evolución humana en la saga de Dune.
Fue una interesante experiencia para mí, poder compartir con los asistentes lo que he ido averiguado con el tiempo sobre las influencias que llevaron a Herbert a escribir Dune, y cómo desarrolla en la saga temas como la supervivencia, el conflicto y las posibilidades de desarrollo de la especie humana.
Tal como os prometí, he preparado una versión 'de estudio' de la conferencia. Aunque no es lo mismo que 'en vivo' por lo menos tenéis el material que preparé: imágenes, animaciones y los vídeos con entrevistas a Herbert. Disculpad mi voz algo acatarrada y los problemas de sonido en la segunda parte.
Las ondas son omnipresentes en nuestro universo. Comenzando por sus componentes más pequeños, sabemos que las llamadas partículas elementales son en realidad ondas de probabilidad, y que todas las fuerzas se propagan en forma de campos ondulatorios que en realidad están también causados por partículas (ondas de probabilidad) como la luz y otros bosones.
Por otra parte, el universo está lleno de oscilaciones (vibraciones de los átomos, péndulos, órbitas de los satélites, planetas y estrellas), que también se comportan como ondas:
En esta entrada (y otras que la seguirán) analizaremos un efecto peculiar de las ondas, llamado resonancia.
A pesar de ser un concepto bastante desconocido, la resonancia resulta un componente esencial de nuestra realidad, ya que explica fenómenos tan diferentes como la música, la sintonización de la radio y televisión, la estructura de los sistemas solares y las galaxias, y según la teoría de supercuerdas, las propiedades mismas de las partículas elementales que forman la materia y las fuerzas del universo.
Resonancia y ondas estacionarias
Casi todo en el universo puede oscilar o vibrar: el aire (produciendo sonidos), la superficie de un líquido (produciendo ondas u olas), los campos de fuerzas, un cuerpo sólido, o una cuerda o cadena de cualquier material.
Debido a su estructura física, la mayoría de sistemas oscila más fácilmente a una cierta velocidad, llamada frecuencia natural.
Es lo que hace que, por ejemplo, una copa o una cuerda de piano suene con una determinada nota (como veremos, las notas musicales no son más que ciertas frecuencias de vibración del sonido).
Esta propiedad hace que cuando transmitimos energía mediante impulsos a un objeto que vibra, el objeto absorba rápidamente la energía si la frecuencia de los impulsos es aproximadamente igual a su frecuencia natural. A esto se le llama resonancia, como bien explica este hombre tan simpático en el siguiente vídeo (ver también esta completa presentación):
La razón de que exista la resonancia en una o varias frecuencias naturales en los objetos es que las ondas que se propagan por el objeto (el diapasón, cuerda, péndulo...) solo se mantienen en el tiempo cuando al llegar a un extremo del objeto se anulan, es decir, cuando uno de los nodos de la oscilación coincide con el extremo del objeto. A esto se le llama onda estacionaria.
Si la onda no se anulara en el extremo, al rebotar en ese extremo cambiaría su forma, no sería estacionaria. Según el número de nodos intermedios, un mismo objeto puede tener varios modos de vibración. Para crear un modo de vibración con más nodos necesitaremos más energía.
Podemos ver estos fenómenos en los siguientes vídeos, en los que la onda se crear de forma mecánica o manual en una cuerda:
En el caso de una cuerda, las frecuencias que crean los modos de vibración no solo dependen de la longitud de la cuerda, sino también de su tensión. Con una cuerda más tensa es necesaria más energía para hacer oscilar la cuerda, y por tanto hay que impulsarla con una frecuencia mayor. El siguiente vídeo lo demuestra:
Estas ondas que se propagan en una dimensión (la de la cuerda) pueden generarse también en el agua aplicando impulsos periódicos en un lado de la piscina:
El mismo sistema se utiliza en los aceleradores de partículas para generar 'olas' magnéticas que arrastran consigo a las partículas aceleradas que luego se hacen chocar con otras que vienen en sentido opuesto:
Resonancias en un plano
En nuestro espacio de 3 dimensiones las ondas pueden propagarse de tres formas:
Una onda longitudinal, que se propaga en 1, 2 o 3 dimensiones. Los ejemplos más comunes son las ondas de compresión en los muelles y en el aire (sonido).
Una onda transversal (perpendicular) a una dirección lineal. Por ejemplo, las ondas de las cuerdas pueden vibrar en dos dimensiones (arriba/abajo y dentro/fuera) al propagarse por la cuerda de izquierda a derecha, o viceversa.
Una onda transversal a una superficie. En este caso la superficie vibra en una sola dimensión, la perpendicular.
La producción de ondas estacionarias por resonancia es posible en cualquiera de las formas. Hemos visto ya cómo actúa la resonancia con el sonido (onda longitudinal) y en las cuerdas (onda transversal). En los siguientes vídeos podemos ver además los modos de vibración en dos dimensiones, que aparecen en una superficie como la de una plancha metálica:
Este artista utiliza el mismo efecto para producir sus obras:
Aquí podemos ver como las ondas estacionarias hacen saltar gotas de la superficie del agua al hacer vibrar un cuenco tibetano:
En este laboratorio japonés de hidráulica se lo pasan bomba generando diferentes tipos de ondas:
Y un ejercicio arriesgado con ondas estacionarias para los que no teman jugar con fuego:
Resonancias musicales
Ya los antiguos pitagóricos descubrieron una relación estrecha entre los modos de vibración de los instrumentos musicales (cuerdas, superficies estiradas, objetos huecos y tubos de madera o metal) y las notas que producen. Se dieron cuenta de que solamente ciertas proporciones producen sonidos armoniosos:
El siguiente video muestra los modos de vibración de las cuerdas de una guitarra (conseguidos por sus diferentes tensiones y materiales). A su vez, la caja de la guitarra está también diseñada para responder a estas mismas frecuencias y amplificar así los sonidos por resonancia:
Podemos también visualizar con una cámara de alta velocidad varios modos de vibración en la superficie de un tambor:
Resonancias destructivas
Las resonancias no siempre causan efectos favorables. Si un objeto que debe permanecer estático no está diseñado con cuidado, puede verse afectado por vibraciones o impulsos que le lleguen en una de sus frecuencias naturales, llegando incluso a destruir el objeto.
El ejemplo clásico es del Puente de Tacoma, que oscilaba alegremente con el impulso del viento hasta que un día una ventolera más fuerte de lo normal lo destruyó por resonancia:
La razón de estos efectos destructivos es que la resonancia acumula energía de vibración en el objeto, y si la energía sigue llegando las vibraciones se vuelven cada vez más fuertes.
El siguiente ejemplo muestra otro caso de resonancia mecánica que podría llegar a ser destructiva:
Otro ejemplo, desgraciadamente muy real, es el de la resonancia entre las vibraciones de un terremoto y los edificios. El siguiente vídeo (vedlo a partir de la mitad) muestra de forma muy gráfica este efecto y cómo afecta de forma diferente a los edificios según su altura:
En realidad todos nosotros sufrimos molestas resonancias cada día, como los ruidos en las tuberías o cisternas de la casa (las vibraciones causadas por el paso del agua a presión resuenan con los tubos o cavidades como si fueran instrumentos musicales), o esos cargantes ruiditos del coche cuando las vibraciones de la conducción se acoplan a una pieza que está un poco suelta.
Resonancia y transmisión de energía
Un objeto 1 que resuena a una determinada frecuencia (por ejemplo, un instrumento musical) puede hacer vibrar un medio de transmisión (p. ej. el aire), y a su vez este medio propaga la onda hasta que hace vibrar a un objeto 2 por resonancia (si tiene la misma frecuencia natural). De esta forma se consigue transmitir energía del objeto 1 al 2.
Lo vemos aquí con péndulos ligados. Observad como la energía se transmite del primero al segundo, luego a la inversa, y así hasta que se paran:
Este mismo principio es el que permite la transmisión de sonido e imágenes a través de las ondas de radio y televisión. En este caso las oscilaciones que se transmiten son electromagnéticas.
Diferentes canales de radio o televisión emiten con diferentes frecuencias. Cuando sintonizamos con un canal determinado, lo que hacemos (de forma electrónica) es ajustar un componente del circuito conectado a la antena, para que resuene a la frecuencia del canal que queremos escuchar.
Partículas y resonancia: apariciones fantasmales y la detección del bosón de Higgs
El propósito final de esta entrada es mostrar que las ondas estacionarias y la resonancia están profundamente implicadas en la naturaleza microscópica del mundo. De hecho, según la teoría de supercuerdas las propiedades de las partículas elementales (masa, carga, etc.) están ligadas a sus modos de vibración. El primer indicio de que las partículas elementales tenían la naturaleza de una resonancia apareció en el año 1952, cuando el equipo de Enrico Fermi utilizó un acelerador para hacer chocar piones (unas partículas de tamaño medio descubiertas en 1947) con protones. Lo curioso es que Fermi vio cómo los dos tipos de partículas chocaban más frecuentemente cuando la energía estaba alrededor de un cierto valor. ¿Por qué sucedía eso?
La única forma que encontraron de explicar este fenómeno fue suponer que la energía a la que se producía la interacción entre piones y protones era justo la necesaria para crear una nueva partícula, a la que llamaron Δ. Hoy sabemos que tanto los piones como los protones están hechos de quarks, y que estos pueden combinarse para formar partículas más pesadas como la Δ.
La partícula Δ es inestable, y vuelve a desintegrarse rápidamente en un pión y un protón:
Lo que merece la pena destacar aquí es que la partícula 'resonante' (como se la llamó) se crea con una energía particular. La partícula en sí no es observada directamente, debido a su rápida desintegración, sino que su existencia se dedujo a partir de la resonancia en la interacción entre piones y protones. Además se demostró que el ancho de la banda de resonancia (la anchura del montículo en la gráfica de energía) se relaciona, por el principio de incertidumbre, con el tiempo que vive la partícula resonante antes de desintegrarse.
Se sabía ya que las partículas podían crearse de la nada (en pares de partícula-antipartícula) a partir de pura energía. El caso de Δ era diferente: se creaba absorbiendo dos partículas durante un tiempo, como si se fusionaran. De forma similar a la formación de ondas estacionarias, al acertar con una energía cercana a la 'frecuencia natural' de la partícula Δ, ésta se formaba espontáneamente a partir del pión y el protón.
Además, por la famosa relación E = mc2, la energía a la que se produce la resonancia nos sirve para calcular el valor de la masa de la partícula creada temporalmente.
Utilizando este mismo mecanismo se descubrió o confirmó la existencia de otras partículas. Se hacían chocar partículas más sencillas y se medía si había un pico de energía que indicara la existencia de una resonancia, la creación de una partícula definida por una energía propia.
El ejemplo más reciente del uso de esta técnica ha sido la confirmación en el acelerador LHC de la existencia del bosón de Higgs. Los cálculos teóricos indicaban con cierta aproximación la masa prevista para esta partícula, así que se sabía en qué energías debía buscarse la resonancia en el choque entre los protones acelerados por el LHC. Finalmente se encontró con un valor de 125 Giga electron-Voltios (GeV) (la masa de un protón es de aproximadamente 1 GeV):
Partículas y resonancia (the sequel): vibrando en 10 dimensiones
El primero que exploró la idea de que una partícula pudiera estar formada por una onda estacionaria fue Louis De Broglie en su tesis doctoral de 1924 (por la que ganó el Premio Nobel). De hecho De Broglie fue el primero en sugerir que las partículas de materia podían comportarse como ondas.
De Broglie buscaba una solución al problema de por qué los electrones giran alrededor del núcleo atómico de forma estable. Se le ocurrió suponer que el electrón podía ser una onda, y en ese caso tenía que ser una onda estacionaria alrededor del núcleo atómico, pudiendo haber diferentes órbitas estables para diferentes números de nodos, igual que los modos de vibración de las cuerdas:
En este vídeo puede verse una simulación mecánica de la idea de De Broglie:
El siguiente gran paso se dio en 1968 con el trabajo de Gabriele Veneziano. Este físico italiano propuso que las extrañas propiedades de la fuerza nuclear fuerte podían explicarse suponiendo que las partículas eran diferentes modos de vibración de una entidad elemental, una cuerda vibrante. Se llamó el modelo de resonancia dual.
El modelo de resonancia dual rompía así con siglos de tradición según la cual las partículas, aunque tuvieran una onda de probabilidad, no tenían estructura interna. En la nueva teoría las partículas dejaban de ser puntos.
El modelo de Veneziano conllevaba además la idea, difícil de aceptar para muchos, de que la vibración de las cuerdas-partículas tenía que producirse en diferentes dimensiones a las que conocemos.
La teoría moderna de supercuerdas mantiene la idea de Veneziano de que las partículas son cuerdas pequeñísimas que solamente se diferencian unas de otras en su forma de vibrar, en los modos de vibración estacionarios con los que oscilan.
Aquí tenéis una exposición general de la teoría y sus implicaciones en cosmología:
Pero la vibración de las supercuerdas es más extraña que la de las cuerdas que conocemos.
Vimos que en 3 dimensiones solo hay unas pocas formas de vibración. Sin embargo, para que las vibraciones de las partículas-cuerdas expliquen sus diferentes propiedades (su masa, su carga eléctrica, su espín, carga nuclear fuerte y débil), estas diminutas cuerdas deben poder oscilar en 9 dimensiones espaciales, además del tiempo.
¿De dónde salen las 6 dimensiones adicionales (o 7 según otras variaciones de la teoría)? La idea que parece más factible (pero de la cual no hay por el momento ninguna prueba) es que esas 6 dimensiones sean circulares y tan pequeñas que no podamos detectarlas. Según esa idea, en cada punto del espacio podríamos movernos a través de esos 6 ó 7 pequeños círculos, además de hacerlo en las 3 dimensiones 'rectas' habituales.
Los matemáticos llaman a estos espacios con dimensiones enrolladas variedades de Calabi-Yau. Son posibles muchas versiones diferentes según cómo las dimensiones se enrollan unas con otras. La esperanza actual de la teoría de supercuerdas es que mediante el análisis de estas formas se puedan deducir los posibles modos de vibración de las partículas y podamos tener así una prueba de por qué existen los tipos de partículas elementales que conocemos y no otros.
Los siguientes vídeos e imágenes muestran versiones de estos espacios de 6 o 7 dimensiones curvadas, que obviamente no podríamos ver directamente, ni siquiera imaginar, proyectados a un espacio 3D:
Como se muestra aquí, cada punto del espacio 3D tendría la posibilidad de expandirse a través de estas dimensiones adicionales:
Si instaláis esta demo hecha con el paquete matemático Wolfram podéis construir vuestra propia versión de un Calabi-Yau.
En este video vemos el espacio Calabi-Yau más sencillo posible, girando en las tres dimensiones espaciales normales al mismo tiempo que gira en sus dimensiones internas:
El segundo caso más sencillo es éste:
Y ahora un poquito más complicado:
Para nota, esta es una animación proyectando un Calabi-Yau de 6 dimensiones llamado hipersuperficie quíntica:
Tenemos entonces que imaginar las partículas como pequeñísimas cuerdas que vibran por dentro de un espacio Calabi-Yau particular que se repite en cualquier lugar del universo, y que le permite tener diferentes modos de vibración enlazados entre las diferentes dimensiones.
Cuando juntamos la energía suficiente (típicamente haciendo chocar partículas) podemos crear una cuerda. Esta cuerda adquiere por resonancia un modo de vibración que depende de las partículas que utilizamos en el choque y de la energía de su movimiento. Ese modo de vibración compuesto define las características de la partícula.
Como hemos comentado respecto a las 'partículas resonantes', el modo de vibración puede ser inestable (sobre todo los que corresponden a energías altas), lo que significa que la cuerda se dividirá y pasará a modos de vibración menos energéticos. ¿Es la teoría de supercuerdas cierta? Hasta el momento sus méritos son teóricos, no ha conseguido aún una predicción comprobable. Si se descubren las partículas supersimétricas en el LHC u otros experimentos, eso iría por el buen camino. in embargo, para sus críticos la teoría de supercuerdas es solo un apaño matemático indemostrable que nos aleja de la intuición física sin explicar aspectos como la masa y la energía oscuras. Por otro lado, la historia de la física ha dado bastantes pruebas de que una hipótesis que unifica el conocimiento de una forma sencilla suele llegar a un acuerdo con los experimentos (como sucedió con el Modelo Estándar y su predicción del bosón de Higgs). También surgen constantemente teorías alternativas a las supercuerdas, que quizás nos ofrezcan otros modelos y metáforas sobre los componentes básicos del universo.
De momento nos conformaremos con imaginarnos que todo a nuestro alrededor puede estar hecho de pequeñas ondas estacionarias que se ceden energía resonando unas con otras como en una gran orquesta cósmica. De hecho hay quien ha compuesto música inspirándose en esta visión:
En una próxima entrada seguiremos explorando curiosas consecuencias y aplicaciones del fenómeno de la resonancia.
¿Cómo surge la complejidad a partir de lo simple? ¿Por qué vemos las mismas estructuras repetidas por doquier en la naturaleza? Para responder a estas preguntas tenemos que recurrir a unos objetos geométricos que son a la vez extraños y omnipresentes, los fractales.
Históricamente, el primer objeto matemático con características fractales fue definido por el matemático Karl Weierstrass en 1872. Pero los fractales no se popularizaron y trataron rigurosamente hasta el trabajo del matemático Benoit Mandelbrot en los años 1970, ayudado por los ordenadores como instrumento de cálculo e investigación.
Un fractal es un objeto que puede 'vivir' en un espacio de 1, 2, 3 o cualquier número de dimensiones, y que se caracteriza por:
Ser autosimilar: la forma de la totalidad de un fractal es igual o muy similar a la de sus partes. Aquí podéis verlo en un extracto del documental que encontraréis completo al final:
Podemos ver aquí otro ejemplo de autosimilaridad en la función de Weierstrass, el primer objeto fractal que fue definido:
Y otro ejemplo más, bastante tenebroso:
Como consecuencia de la autosimilitud, el fractal es aproximadamente igual en cualquier escala de detalle.
Por ejemplo, al observar una fotografía de un terreno natural como la siguiente resulta prácticamente imposible saber cuál es su escala de tamaño: ¿10 metros, 100 metros, 1000 metros...?
... hasta que no tenemos como referencia otros objetos de tamaño conocido:
En las películas antiguas se utilizaba frecuentemente esta característica para crear efectos especiales en los que las maquetas o monstruos aparecían mucho más grandes de lo que eran en realidad.
En un fractal definido matemáticamente, la autosimilitud se aplica a todas las escalas de detalle, lo cual implica que el fractal tiene detalles infinitamente pequeños. Aunque escojamos una parte muy pequeña, esa parte es igual de compleja que el todo. Esta propiedad se ha explotado visualmente para hacer increíbles animaciones en las que nos 'zambullimos' en escalas cada vez más y más pequeñas dentro del fractal, donde podemos encontrarnos de nuevo con el objeto del que partimos:
El trabajo original de Weierstrass se originó en la necesidad de demostrar que era posible tener una curva continua (sin roturas) pero que no sea suave en ningún punto. El concepto matemático se denomina no diferenciabilidad. En términos sencillos, significa que cualquier punto que escojamos en un fractal es un 'pico': no podemos definir la línea tangente, porque no hay ni una sola zona suave donde medirla.
Esta propiedad de no-diferenciabilidad se relaciona con otras extrañas características de los fractales: la imposibilidad de calcularmedidas como valores medios, longitudes y áreas. Dependiendo de la escala de detalle que utilicemos para realizar estas medidas obtendremos un valor u otro, y éste irá variando también como un fractal. De hecho el artículo original de Mandelbrot sobre los fractales se llamó "¿Cuán larga es la costa de Gran Bretaña?". En él demostró que la medida de longitud no tenía sentido para un fractal. La longitud de la costa de Gran Bretaña se va haciendo más y más grande a medida que la vemos a mayor detalle.
En lugar de las medidas habituales, para los fractales utilizamos la dimensión fractal. Su definición matemática no es trivial, pero el significado tiene que ver con qué parte del espacio en el que vive puede rellenar el objeto fractal.
Así, un objeto fractal que vive 'dentro' de una línea (las líneas tienen dimensión 1), tendrá una dimensión fractal entre 0 y 1. Cuando más rellene la línea, más cerca estará de la dimensión 1.
Los fractales que viven en un plano (2 dimensiones) tendrán una dimensión fractal entre 1 y 2 (como en la figura anterior), y así sucesivamente para cualquier número de dimensiones.
En esta página podéis ver muchos objetos fractales clasificados por el valor de su dimensión.
Fractales que viven en una línea
En 1883, poco después del trabajo de Weierstrass, Georg Cantor, que estudiaba las propiedades de conjuntos infinitos, demostró algo curioso: definió un conjunto de puntos contenido en un segmento de línea de longitud 1, cuya medida era nula (puestos todos los puntos juntos su longitud era cero, no rellenaban ningún espacio en la línea en sentido clásico), y sin embargo el número de puntos en este conjunto de Cantor era infinito e igual al número de puntos que formaban todo el segmento.
Este conjunto, también llamado 'polvo de Cantor', puede formarse eliminando sucesivamente (hasta el infinito) el tercio central del segmento de línea y de los segmentos que resultan:
La dimensión de este conjunto es menor que uno, concretamente Log(2)/Log(3)=0.631.
El conjunto de Cantor muestra claramente que un fractal puede ser un conjunto disconexo de puntos, aunque otros muchos fractales sí son conexos y continuos, como los que veremos a continuación.
En este caso la curva se forma añadiendo recursivamente triángulos cada vez más pequeños sobre los lados de la curva de nivel anterior:
Nos encontramos de nuevo con un objeto autosimilar, igual en todas las escalas y con picos en cada uno de los puntos de la curva:
La dimensión fractal de la curva de Koch es log 4/log 3 ≈ 1.26186.
Curiosamente, si utilizamos copos de Koch de dos tamaños podemos cubrir el plano sin huecos. Sus bordes infinitamente detallados encajan perfectamente:
Como vimos en esta entrada, existen otras muchas curvas de tipo fractal (Peano, Hilbert, Moore, Sierpinksi) que rellenan el plano de forma sistemática (todos los puntos del plano pertenecen a la curva), y por tanto tienen una dimensión fractal igual a 2.
A pesar de que estas figuras parecen tener área, son conjuntos de medida nula: en el límite infinito no rellenan ninguna parte del plano en el sentido convencional. Sin embargo, podemos definir su dimensión fractal. La dimensión del triángulo es:
Y la de la alfombra, que intuitivamente parece 'cubrir más área', es 1,892789...
Rellenando el espacio
Es fácil extender a 3 dimensiones muchos de los objetos que hemos visto antes. Por ejemplo, si vamos eliminando los tercios que bisectan cada cara de un cubo podemos generar un conjunto de Cantor tridimensional:
También podemos construir con un tetraedro una figura 3D similar al triángulo de Sierpinski:
O utilizan un cubo, en lugar de un cuadrado, para construir una alfombra de Sierpinski en 3D:
Hay sistemas sencillos de generación de fractales que pueden dar resultados espectaculares en 3D. Por ejemplo, el programa Mandelbulb es un sistema de visualización y animación 3D especialmente pensado para fractales.
Fractales iterativos en el campo complejo: Julia y Mandelbrot
Viendo los anteriores ejemplos de fractales definidos por fórmulas matemáticas, podríamos pensar que con unas reglas de construcción sencillas obtenemos siempre estructuras repetitivas y simples.
Sin embargo el mundo de los fractales dio una gran sorpresa a través del trabajo de Mandelbrot y otros que tuvieron acceso a ordenadores para ejecutar cálculos repetitivos de forma rápida. En particular, a partir del estudio del comportamiento de los polinomios de variable compleja, se descubrió que la iteración de una expresión como...
(siendo Zi un número complejo = x + y.i, que se puede representar en un plano con su parte real x e imaginaria y)
... tenía un comportamiento muy extraño cuando la iteración se repetía un número grande de veces. El valor de Zn se podía hacer muy grande, o bien quedarse pequeño. Al dibujar en el plano los puntos Z que tras muchas iteraciones seguían siendo pequeños (cercanos al centro) apareció una figura (el conjunto de Mandelbrot) cuya complejidad resultaba asombrosa.
Mandelbrot demostró que este conjunto cumplía todas las características de un fractal, pero a pesar de estar definido por una fórmula tan sencilla y de su carácter autosimilar, la variedad de estructuras que se encontraban en su interior era infinita y eternamente fascinante, como un zoo matemático sin fin, lleno de una multitud inagotable de criaturas siempre nuevas.
El número de imagenes y animaciones del conjunto de Mandelbrot es incontable, y existen paquetes de software que permiten explorarlo por cuenta propia. Os pongo aquí solamente una pequeña muestra:
Esta animación representa uno de los zooms más profundos hacia el interior del conjunto realizados hasta la actualidad. Como vemos, nos encontramos en varias ocasiones con versiones más pequeñas del mismo conjunto, lo que demuestra su autosimilaridad:
La idea del conjunto de Mandelbrot se generalizó rápidamente para un conjunto de funciones complejas que dan lugar a los llamados conjuntos de Julia, pudiendo pasarse de un conjunto a otro sin más que cambiar unos pocos valores numéricos.
En este didáctico video podéis ver la explicación del proceso de cálculo de los conjuntos de Julia en forma gráfica:
También es posible generalizar a 3D las fórmulas de los conjuntos de Julia para obtener una visión tridimensional:
Aquí tenéis otro de esos videos de zoom casi infinito, esta vez de un conjunto de Julia:
Más allá del 3D
Como hemos comentado, podemos crear fractales con cualquier número de dimensiones. Una opción para tener más de tres dimensiones es utilizar el tiempo, introduciendo cambios en los fractales. Estos videos han sido generados con el programa Mandelbulb comentado antes, y utilizan este efecto de cambio temporal:
A la inversa, si creamos un fractal en cuatro dimensiones y hacemos un 'corte' en 3D que se mueva a su través, lo que vemos es un fractal que parece animarse con el tiempo:
Esta técnica se usa, por ejemplo, para generar nubes fractales animadas. Aquí vemos el mismo método aplicado al conjunto de Mandelbrot, mostrando una especie de 'fantasma' 3D del conjunto en cuatro dimensiones:
Obviamente es posible generar fractales de dimensiones aún más grandes, pero resultaría muy difícil visualizarlos.
Fractales de similaridad no exacta
Hasta ahora hemos hablado de fractales generados a partir de fórmulas matemáticas o construcciones geométricas. Sin embargo, los procesos de la naturaleza, las leyes de la física, la biología o el mercado de valores pueden crear también estructuras fractales, debido a su naturaleza de sistemas no lineales con tendencias opuestas de contracción y expansión.
En estos fractales naturales la autosimilitud no es exacta, sino en promedio. Se sigue dando el fenómeno de la indistinguibilidad de escalas como que en los fractales matemáticos, aunque los patrones no se repiten de forma exacta en los diferentes niveles de detalle.
Otra característica de los fractales naturales es que la dimensión fractal no permanece constante en todas las escalas. Por ejemplo, un terreno natural puede tener una dimensión más 'rugosa' en una escala de detalle (más salientes debidos a las rocas y piedras individuales) y dimensión más 'suave' a gran escala, debido a efectos de la erosión. Este hecho se utiliza al generar terrenos sintéticos para efectos especiales.
En este video del programa Redes vemos con claridad varios ejemplos de cómo la naturaleza utiliza las formas fractales:
Y en este otro episodio de Redes, el incombustible Punset entrevista al 'creador' mismo, Monsieur Mandelbrot, acerca de la relación de los fractales con la naturaleza y el arte:
Un terreno insospechado donde aparecen las formas fractales es en la evolución de los mercados de bolsa, y en particular en los valores de la acciones y los índices bursátiles. Por ejemplo, si uno observa estas gráficas resulta imposible saber cuál es su escala de tiempo. La evolución del mercado en una semana es similar (con el factor de escala correspondiente) a la evolución en un año o en diez años, aunque obviamente la autosimilitud es solo estadística (si fuera exacta sería muy fácil predecir la bolsa).
La razón de la naturaleza fractal de los valores es la dinámica no lineal que subyace a los mercados por las dos tendencias opuestas que los dominan: vender (baja los valores) y comprar (los sube). Sin embargo, el consenso es que precisamente por la naturaleza caótica de estos sistemas, la estructura fractal no es de mucha ayuda para realizar predicciones.
Un área donde la aplicación de los fractales ha sido muy fructífera es en el análisis de estructuras en música y en plástica. Por ejemplo, se pueden caracterizar diferentes autores o estilos, incluso épocas del mismo autor, por el uso de diferentes dimensiones fractales.
Se especula también sobre en qué medida la dimensión fractal y sus variaciones tienen influencia en nuestra percepción de la belleza en objetos naturales y artísticos. Lo que es cierto sin duda es que nuestro cerebro identifica y responde a esta información.
Además de usarse para generar imágenes, la teoría fractal se utiliza cada vez más para generar música de forma automática, con características similares a la compuesta por humanos. Un ejemplo es el programa FracMus, desarrollado por un pianista y compositor español, Gustavo Díaz-Jerez. Otro ejemplo es el software Tune Smithy.
Aquí tenéis un par de ejemplos de música fractal:
La estructura fractal de la música sirve también de inspiración a un grupo del MIT para crear nuevos materiales con sorprendentes propiedades.
Métodos de generación
¿Cómo podemos generar un objeto fractal? Una idea es recrear su compleja forma a partir de unas reglas sencillas de autosimilaridad, lo que podemos conseguir de varias formas:
Construcción recursiva: un fractal de nivel N se dibuja o construye con los de nivel N-1, y así hasta llegar a un nivel básico que es la forma elemental. Esta es la forma en que se construyen curvas como la de Koch, Peano, etc., y figuras como las de Sierpinksi. A continuación tenemos un ejemplo un poco más complicado: la curva dragón (llamada así por que parece dibujar la forma de un dragón):
Una técnica para formalizar este tipo de construcción recursiva utiliza las llamadas gramáticas formales, que indican cómo un símbolo se sustituye por otros, lo cual se puede hacer de manera repetida. Un ejemplo particularmente útil son los L-sistemas, utilizados para representar procesos de crecimiento natural como los de ramificación de árboles y plantas. Variando las reglas gramaticales y diversos parámetros numéricos que aparecen en ellas, se pueden crear una gran variedad de estructuras de aspecto natural:
Los L-sistemas no solo pueden utilizarse para crear estructuras geométricas, sino también sonidos, como en este ejemplo:
Otra forma de generación relacionada con la autosimilaridad es el método basado en Sistemas Iterativos de Funciones. La idea es construir varias tranformaciones geométricas, cada una de las cuales representa una correspondencia o autosimilaridad en el fractal, y luego aplicar de forma iterada y sucesiva estas funciones de transformación a un punto. El resultado es que, aunque parezca sorprendente, las sucesivas posiciones del punto van dibujando el fractal completo.
Por ejemplo, el conjunto de Cantor puede generarse utilizando las dos funciones
y
para valores de x entre 0 y 1.
El ejemplo más clásico de este sistema de generación es el helecho de Barnsley. En este caso se utilizan tres funciones de autosimilaridad, una para la parte superior y otras dos para las partes inferiores derecha e izquierda, cada una de ellas igual al helecho completo:
Aquí podéis ver cómo se va formando la figura añadiendo sucesivos puntos en los lugares dados por una de las funciones de transformación del sistema, escogida aleatoriamente entre las tres.
Hay otros sistemas de generación de fractales que no se basan en reproducir la autosimilaridad. Por ejemplo, hemos visto los sistemas de iteración de funciones complejas para los conjuntos de Mandelbrot y Julia, en los que se comprueba el tiempo de escape para determinar si un punto pertenece o no al conjunto. Este tiempo se escape se utiliza para asignar los diferentes colores que vemos en las imágenes y vídeos.
Para los fractales de similaridad estadística hay que utilizar métodos que incluyan un elemento de azar, pero cuya variación resulte definida según la escala.
Para ciertas estructuras que se forman en la naturaleza por agregación de partículas (caso de los copos de nieve, por ejemplo) se reproduce por ordenador este proceso de agregación sucesivo.
Para los fractales definidos como una función de altura sobre una o más variables (por ejemplo, una curva de una función y=f(x), o una superficie de un terreno o del agua: z=f(x,y) ) podemos utilizar un método de subdivisión, como se ve estupendamente en el siguiente video, en el que se pega también una textura fractal sobre el terreno para conseguir un mayor realismo.
Con el mismo propósito podemos utilizar también el método de superposición de ondas, bien mediante el método de síntesis de Fourier (ondas sinusoidales) o con ondículas (wavelets). Si sumamos ondas de frecuencia cada vez mayor, disminuyendo al mismo tiempo su amplitud, conseguimos una superficie que es estadísticamente autosemejante.
Este método se usa con gran realismo para simular el oleaje en el mar:
Aquí tenemos una sencilla aplicación basada en ondículas para generar un terreno fractal:
Para terminar con los fractales, este magnífico documental sirve como resumen de todo lo que hemos tratado:
Fractales y seudociencia
Por desgracia, al igual que sucede con el término 'cuántico', en muchas ocasiones hay una apropiación del término 'fractal' para dar un aire serio a ideas pseudocientíficas.
Pongo aquí algunos ejemplos que he encontrado mientras buscaba información. Ojo avizor.
¿Estructura fractal de la Biblia?
'Ciencia fractal' y alimentación cuántica' (!?)
Otro pupurri pseudocientífico que mezcla lo 'cuántico' y los 'fractales'
Curación con fractales
Pseudofractales para inversionistas incautos
Pues hasta la próxima. Tengan cuidado ahí fuera ;-)
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