Somos música decadimensional de las supercuerdas (Sobre Resonancias, parte 1)

Las ondas son omnipresentes en nuestro universo. Comenzando por sus componentes más pequeños, sabemos que las llamadas partículas elementales son en realidad ondas de probabilidad, y que todas las fuerzas se propagan en forma de campos ondulatorios que en realidad están también causados por partículas (ondas de probabilidad) como la luz y otros bosones.

Por otra parte, el universo está lleno de oscilaciones (vibraciones de los átomos, péndulos, órbitas de los satélites, planetas y estrellas), que también se comportan como ondas:

 
En esta entrada (y otras que la seguirán) analizaremos un efecto peculiar de las ondas, llamado resonancia.

A pesar de ser un concepto bastante desconocido, la resonancia resulta un componente esencial de nuestra realidad, ya que explica fenómenos tan diferentes como la música, la sintonización de la radio y televisión, la estructura de los sistemas solares y las galaxias, y según la teoría de supercuerdas, las propiedades mismas de las partículas elementales que forman la materia y las fuerzas del universo.
 

Resonancia y ondas estacionarias

Casi todo en el universo puede oscilar o vibrar: el aire (produciendo sonidos), la superficie de un líquido (produciendo ondas u olas), los campos de fuerzas, un cuerpo sólido, o una cuerda o cadena de cualquier material.

Debido a su estructura física, la mayoría de sistemas oscila más fácilmente a una cierta velocidad, llamada frecuencia natural.

Es lo que hace que, por ejemplo, una copa o una cuerda de piano suene con una determinada nota (como veremos, las notas musicales no son más que ciertas frecuencias de vibración del sonido).

Esta propiedad hace que cuando transmitimos energía mediante impulsos a un objeto que vibra, el objeto absorba rápidamente la energía si la frecuencia de los impulsos es aproximadamente igual a su frecuencia natural. A esto se le llama resonancia, como bien explica este hombre tan simpático en el siguiente vídeo (ver también esta completa presentación):

La razón de que exista la resonancia en una o varias frecuencias naturales en los objetos es que las ondas que se propagan por el objeto (el diapasón, cuerda, péndulo...) solo se mantienen en el tiempo cuando al llegar a un extremo del objeto se anulan, es decir, cuando uno de los nodos de la oscilación coincide con el extremo del objeto. A esto se le llama onda estacionaria.

Si la onda no se anulara en el extremo, al rebotar en ese extremo cambiaría su forma, no sería estacionaria.

Según el número de nodos intermedios, un mismo objeto puede tener varios modos de vibración. Para crear un modo de vibración con más nodos necesitaremos más energía.

Podemos ver estos fenómenos en los siguientes vídeos, en los que la onda se crear de forma mecánica o manual en una cuerda:

En el caso de una cuerda, las frecuencias que crean los modos de vibración no solo dependen de la longitud de la cuerda, sino también de su tensión. Con una cuerda más tensa es necesaria más energía para hacer oscilar la cuerda, y por tanto hay que impulsarla con una frecuencia mayor. El siguiente vídeo lo demuestra:

Estas ondas que se propagan en una dimensión (la de la cuerda) pueden generarse también en el agua aplicando impulsos periódicos en un lado de la piscina:

El mismo sistema se utiliza en los aceleradores de partículas para generar 'olas' magnéticas que arrastran consigo a las partículas aceleradas que luego se hacen chocar con otras que vienen en sentido opuesto:

Resonancias en un plano

En nuestro espacio de 3 dimensiones las ondas pueden propagarse de tres formas:

• Una onda longitudinal, que se propaga en 1, 2 o 3 dimensiones. Los ejemplos más comunes son las ondas de compresión en los muelles y en el aire (sonido).

• Una onda transversal (perpendicular) a una dirección lineal. Por ejemplo, las ondas de las cuerdas pueden vibrar en dos dimensiones (arriba/abajo y dentro/fuera) al propagarse por la cuerda de izquierda a derecha, o viceversa.

• Una onda transversal a una superficie. En este caso la superficie vibra en una sola dimensión, la perpendicular.

La producción de ondas estacionarias por resonancia es posible en cualquiera de las formas. Hemos visto ya cómo actúa la resonancia con el sonido (onda longitudinal) y en las cuerdas (onda transversal).

En los siguientes vídeos podemos ver además los modos de vibración en dos dimensiones, que aparecen en una superficie como la de una plancha metálica:

Este artista utiliza el mismo efecto para producir sus obras:

Aquí podemos ver como las ondas estacionarias hacen saltar gotas de la superficie del agua al hacer vibrar un cuenco tibetano:

En este laboratorio japonés de hidráulica se lo pasan bomba generando diferentes tipos de ondas:

Y un ejercicio arriesgado con ondas estacionarias para los que no teman jugar con fuego:

Resonancias musicales

Ya los antiguos pitagóricos descubrieron una relación estrecha entre los modos de vibración de los instrumentos musicales (cuerdas, superficies estiradas, objetos huecos y tubos de madera o metal) y las notas que producen. Se dieron cuenta de que solamente ciertas proporciones producen sonidos armoniosos:

El siguiente video muestra los modos de vibración de las cuerdas de una guitarra (conseguidos por sus diferentes tensiones y materiales). A su vez, la caja de la guitarra está también diseñada para responder a estas mismas frecuencias y amplificar así los sonidos por resonancia:

Podemos también visualizar con una cámara de alta velocidad varios modos de vibración en la superficie de un tambor:

Resonancias destructivas

Las resonancias no siempre causan efectos favorables. Si un objeto que debe permanecer estático no está diseñado con cuidado, puede verse afectado por vibraciones o impulsos que le lleguen en una de sus frecuencias naturales, llegando incluso a destruir el objeto.

El ejemplo clásico es del Puente de Tacoma, que oscilaba alegremente con el impulso del viento hasta que un día una ventolera más fuerte de lo normal lo destruyó por resonancia:

La razón de estos efectos destructivos es que la resonancia acumula energía de vibración en el objeto, y si la energía sigue llegando las vibraciones se vuelven cada vez más fuertes. 

El siguiente ejemplo muestra otro caso de resonancia mecánica que podría llegar a ser destructiva:

Otro ejemplo, desgraciadamente muy real, es el de la resonancia entre las vibraciones de un terremoto y los edificios. El siguiente vídeo (vedlo a partir de la mitad) muestra de forma muy gráfica este efecto y cómo afecta de forma diferente a los edificios según su altura:

En realidad todos nosotros sufrimos molestas resonancias cada día, como los ruidos en las tuberías o cisternas de la casa (las vibraciones causadas por el paso del agua a presión resuenan con los tubos o cavidades como si fueran instrumentos musicales), o esos cargantes ruiditos del coche cuando las vibraciones de la conducción se acoplan a una pieza que está un poco suelta.

Resonancia y transmisión de energía

Un objeto 1 que resuena a una determinada frecuencia (por ejemplo, un instrumento musical) puede hacer vibrar un medio de transmisión (p. ej. el aire), y a su vez este medio propaga la onda hasta que hace vibrar a un objeto 2 por resonancia (si tiene la misma frecuencia natural). De esta forma se consigue transmitir energía del objeto 1 al 2.

Lo vemos aquí con péndulos ligados. Observad como la energía se transmite del primero al segundo, luego a la inversa, y así hasta que se paran:

Este mismo principio es el que permite la transmisión de sonido e imágenes a través de las ondas de radio y televisión. En este caso las oscilaciones que se transmiten son electromagnéticas.

Diferentes canales de radio o televisión emiten con diferentes frecuencias. Cuando sintonizamos con un canal determinado, lo que hacemos (de forma electrónica) es ajustar un componente del circuito conectado a la antena, para que resuene a la frecuencia del canal que queremos escuchar.

Partículas y resonancia: apariciones fantasmales y la detección del bosón de Higgs

El propósito final de esta entrada es mostrar que las ondas estacionarias y la resonancia están profundamente implicadas en la naturaleza microscópica del mundo. De hecho, según la teoría de supercuerdas las propiedades de las partículas elementales (masa, carga, etc.) están ligadas a sus modos de vibración.

El primer indicio de que las partículas elementales tenían la naturaleza de una resonancia apareció en el año 1952, cuando el equipo de Enrico Fermi utilizó un acelerador para hacer chocar piones (unas partículas de tamaño medio descubiertas en 1947) con protones. Lo curioso es que Fermi vio cómo los dos tipos de partículas chocaban más frecuentemente cuando la energía estaba alrededor de un cierto valor. ¿Por qué sucedía eso?

La única forma que encontraron de explicar este fenómeno fue suponer que la energía a la que se producía la interacción entre piones y protones era justo la necesaria para crear una nueva partícula, a la que llamaron Δ. Hoy sabemos que tanto los piones como los protones están hechos de quarks, y que estos pueden combinarse para formar partículas más pesadas como la Δ.

La partícula Δ es inestable, y vuelve a desintegrarse rápidamente en un pión y un protón:

Lo que merece la pena destacar aquí es que la partícula 'resonante' (como se la llamó) se crea con una energía particular. La partícula en sí no es observada directamente, debido a su rápida desintegración, sino que su existencia se dedujo a partir de la resonancia en la interacción entre piones y protones. Además se demostró que el ancho de la banda de resonancia (la anchura del montículo en la gráfica de energía) se relaciona, por el principio de incertidumbre, con el tiempo que vive la partícula resonante antes de desintegrarse.

Se sabía ya que las partículas podían crearse de la nada (en pares de partícula-antipartícula) a partir de pura energía. El caso de Δ era diferente: se creaba absorbiendo dos partículas durante un tiempo, como si se fusionaran. De forma similar a la formación de ondas estacionarias, al acertar con una energía cercana a la 'frecuencia natural' de la partícula Δ, ésta se formaba espontáneamente a partir del pión y el protón.

Además, por la famosa relación E = mc2, la energía a la que se produce la resonancia nos sirve para calcular el valor de la masa de la partícula creada temporalmente.

Utilizando este mismo mecanismo se descubrió o confirmó la existencia de otras partículas. Se hacían chocar partículas más sencillas y se medía si había un pico de energía que indicara la existencia de una resonancia, la creación de una partícula definida por una energía propia.

Por ejemplo, se confirmó así la existencia del bosón Z:

El ejemplo más reciente del uso de esta técnica ha sido la confirmación en el acelerador LHC de la existencia del bosón de Higgs. Los cálculos teóricos indicaban con cierta aproximación la masa prevista para esta partícula, así que se sabía en qué energías debía buscarse la resonancia en el choque entre los protones acelerados por el LHC. Finalmente se encontró con un valor de 125 Giga electron-Voltios (GeV) (la masa de un protón es de aproximadamente 1 GeV):

Partículas y resonancia (the sequel):  vibrando en 10 dimensiones

El primero que exploró la idea de que una partícula pudiera estar formada por una onda estacionaria fue Louis De Broglie en su tesis doctoral de 1924 (por la que ganó el Premio Nobel). De hecho De Broglie fue el primero en sugerir que las partículas de materia podían comportarse como ondas.

De Broglie buscaba una solución al problema de por qué los electrones giran alrededor del núcleo atómico de forma estable. Se le ocurrió suponer que el electrón podía ser una onda, y en ese caso tenía que ser una onda estacionaria alrededor del núcleo atómico, pudiendo haber diferentes órbitas estables para diferentes números de nodos, igual que los modos de vibración de las cuerdas:

En este vídeo puede verse una simulación mecánica de la idea de De Broglie:

Aunque la forma de las órbitas electrónicas resultó ser diferente a la propuesta de De Broglie, su idea de las partículas como ondas quedó establecida.

El siguiente gran paso se dio en 1968 con el trabajo de Gabriele Veneziano. Este físico italiano propuso que las extrañas propiedades de la fuerza nuclear fuerte podían explicarse suponiendo que las partículas eran diferentes modos de vibración de una entidad elemental, una cuerda vibrante. Se llamó el modelo de resonancia dual.

El modelo de resonancia dual rompía así con siglos de tradición según la cual las partículas, aunque tuvieran una onda de probabilidad, no tenían estructura interna. En la nueva teoría las partículas dejaban de ser puntos.

El modelo de Veneziano conllevaba además la idea, difícil de aceptar para muchos, de que la vibración de las cuerdas-partículas tenía que producirse en diferentes dimensiones a las que conocemos.

Por ésta y otras razones la teoría original de Veneziano no tuvo mucha aceptación, hasta que al principio de los años 80 se unió con la idea de la supersimetría para dar lugar al nacimiento de la moderna teoría de supercuerdas.

La teoría moderna de supercuerdas mantiene la idea de Veneziano de que las partículas son cuerdas pequeñísimas que solamente se diferencian unas de otras en su forma de vibrar, en los modos de vibración estacionarios con los que oscilan.

Aquí tenéis una exposición general de la teoría y sus implicaciones en cosmología:

Pero la vibración de las supercuerdas es más extraña que la de las cuerdas que conocemos.

Vimos que en 3 dimensiones solo hay unas pocas formas de vibración. Sin embargo, para que las vibraciones de las partículas-cuerdas expliquen sus diferentes propiedades (su masa, su carga eléctrica, su espín, carga nuclear fuerte y débil), estas diminutas cuerdas deben poder oscilar en 9 dimensiones espaciales, además del tiempo.

¿De dónde salen las 6 dimensiones adicionales (o 7 según otras variaciones de la teoría)? La idea que parece más factible (pero de la cual no hay por el momento ninguna prueba) es que esas 6 dimensiones sean circulares y tan pequeñas que no podamos detectarlas. Según esa idea, en cada punto del espacio podríamos movernos a través de esos 6 ó 7 pequeños círculos, además de hacerlo en las 3 dimensiones 'rectas' habituales.

Los matemáticos llaman a estos espacios con dimensiones enrolladas variedades de Calabi-Yau. Son posibles muchas versiones diferentes según cómo las dimensiones se enrollan unas con otras. La esperanza actual de la teoría de supercuerdas es que mediante el análisis de estas formas se puedan deducir los posibles modos de vibración de las partículas y podamos tener así una prueba de por qué existen los tipos de partículas elementales que conocemos y no otros. 

Los siguientes vídeos e imágenes muestran versiones de estos espacios de 6 o 7 dimensiones curvadas, que obviamente no podríamos ver directamente, ni siquiera imaginar, proyectados a un espacio 3D:

Como se muestra aquí, cada punto del espacio 3D tendría la posibilidad de expandirse a través de estas dimensiones adicionales:

Si instaláis esta demo hecha con el paquete matemático Wolfram podéis construir vuestra propia versión de un Calabi-Yau.

En este video vemos el espacio Calabi-Yau más sencillo posible, girando en las tres dimensiones espaciales normales al mismo tiempo que gira en sus dimensiones internas:

El segundo caso más sencillo es éste:

   

Y ahora un poquito más complicado:

Para nota, esta es una animación proyectando un Calabi-Yau de 6 dimensiones llamado hipersuperficie quíntica:

Tenemos entonces que imaginar las partículas como pequeñísimas cuerdas que vibran por dentro de un espacio Calabi-Yau particular que se repite en cualquier lugar del universo, y que le permite tener diferentes modos de vibración enlazados entre las diferentes dimensiones.  

Cuando juntamos la energía suficiente (típicamente haciendo chocar partículas) podemos crear una cuerda. Esta cuerda adquiere por resonancia un modo de vibración que depende de las partículas que utilizamos en el choque y de la energía de su movimiento. Ese modo de vibración compuesto define las características de la partícula.

Como hemos comentado respecto a las 'partículas resonantes', el modo de vibración puede ser inestable (sobre todo los que corresponden a energías altas), lo que significa que la cuerda se dividirá y pasará a modos de vibración menos energéticos.

¿Es la teoría de supercuerdas cierta? Hasta el momento sus méritos son teóricos, no ha conseguido aún una predicción comprobable. Si se descubren las partículas supersimétricas en el LHC u otros experimentos, eso iría por el buen camino.

in embargo, para sus críticos la teoría de supercuerdas es solo un apaño matemático indemostrable que nos aleja de la intuición física sin explicar aspectos como la masa y la energía oscuras. Por otro lado, la historia de la física ha dado bastantes pruebas de que una hipótesis que unifica el conocimiento de una forma sencilla suele llegar a un acuerdo con los experimentos (como sucedió con el Modelo Estándar y su predicción del bosón de Higgs).

También surgen constantemente teorías alternativas a las supercuerdas, que quizás nos ofrezcan otros modelos y metáforas sobre los componentes básicos del universo.

De momento nos conformaremos con imaginarnos que todo a nuestro alrededor puede estar hecho de pequeñas ondas estacionarias que se ceden energía resonando unas con otras como en una gran orquesta cósmica. De hecho hay quien ha compuesto música inspirándose en esta visión:

En una próxima entrada seguiremos explorando curiosas consecuencias y aplicaciones del fenómeno de la resonancia.

Hasta pronto,

   Salvador

¿Por qué existen las cosas?: fermiones, bosones y el misterioso espín

A pesar de la dificultad de su comprensión, la física cuántica llega a explicar muchos misterios básicos de la naturaleza, como el hecho de que existan fuerzas atractivas. Veremos en esta entrada que la cuántica también explica por qué determinadas partículas pueden formar estructuras en el espacio, estructuras que llamamos 'materia'.

La materia que conocemos en cualquiera de sus estados (sólido, líquido, gaseoso y plasma) está formada por átomos (o por iones, que son átomos sin algunos de sus electrones). Las moléculas y las estructuras cristalinas se forman con estos componentes atómicos/iónicos.

Desde antiguo se ha reconocido que la materia tiene una propiedad esencial, no por obvia menos importante: es impenetrable. Dos cuerpos materiales no pueden ocupar el mismo espacio. Las moléculas no se dejan penetrar por otras moléculas, y los átomos, a pesar de estar prácticamente vacíos, no se comprimen como una esponja para ocupar su vacío interno.

Solamente en condiciones extremas de gravedad (en las estrellas de neutrones y agujeros negros), las partículas subatómicas se recombinan para ocupar un espacio mucho más pequeño.

Sin la impenetrabilidad de átomos y moléculas, no tendríamos estructuras sobre las que podríamos existir (estrellas, planetas), ni existiría el agua, la tierra y seres vivos, en definitiva, no existirían las 'cosas' que se pueden ver y tocar: todo lo que tendríamos sería un baño de radiación con partículas que se entrecruzan entre sí sin molestarse, como los rayos de luz que pasan unos a través de otros sin chocar jamás. La vida no sería posible en un universo así, pues no se formaría ninguna estructura capaz de reproducirse.

Pero, ¿cuál es la razón de que las partículas de materia no puedan entrecruzarse igual que la luz? Al fin y al cabo, sabemos hoy que las partículas son ondas igual que la radiación electromagnética. ¿Qué es lo que mantiene separadas las partículas de materia, incluso cuando hay fuerzas que las atraen?

El principio de exclusión de Pauli

A principios del siglo XX, Ernest Rutherford comenzó a desentrañar la estructura atómica, descubriendo que había un núcleo cargado positivamente y una nube de electrones que giraban alrededor. Los electrones, con carga eléctrica negativa, eran atraídos hacia el núcleo positivo por la fuerza electromagnética.

Sin embargo, este modelo atómico planteaba muchos problemas, no explicaba:

• Por qué los electrones no caen hacia el núcleo (según el electromagnetismo clásico, debían perder energía y dejarse arrastrar por la atracción del núcleo positivo)
• Por qué los electrones no se agolpan todos en la misma órbita, sino que se sitúan a distancias muy determinadas, colocándose en capas. Los electrones pueden saltar de una capa a otra emitiendo o absorbiendo la diferencia de energía en forma de fotón (luz)

Niels Bohr modificó el modelo de Rutherford para acomodar estas órbitas fijas de los electrones. Las órbitas se van llenando progresivamente, lo cual explica las propiedades químicas de combinación de los elementos.

Pero Bohr se limitó a admitir sin más la existencia de órbitas fijas con una determinada capacidad de contener electrones, sin demostrar por qué existía este límite en la capacidad.

La explicación a los postulados de Bohr apareció con el nacimiento de una nueva física: la mecánica cuántica. Erwin Schrödinger desarrolló en 1925 las ecuaciones que explicaban que las partículas se comportan en realidad como ondas de probabilidad (ver esta entrada para una introducción a la dualidad onda-partícula y el significado de la función de onda).

En el modelo atómico de Schrödinger, que es básicamente el admitido hoy en día, los electrones pasan a ser 'nubes' de cierta densidad que se acomodan en ciertas regiones alrededor de los átomos llamadas orbitales. Estos orbitales son las únicas soluciones posibles a las ecuaciones ondulatorias de Schrödinger y esto explica por qué las partículas eléctricas no pueden situarse en otras órbitas. 

Sin embargo, las ecuaciones de Schrödinger no explicaban porqué en cada orbital solamente pueden situarse uno o dos electrones, pero no más. 

Para solucionar este 'agujero' del modelo, Wolfgang Ernst Pauli enunció el mismo año (1925) su Principio de Exclusión. Propuso que dos partículas de 'materia' como los electrones no pueden tener nunca el mismo estado cuántico, es decir, no pueden tener la misma función de onda. Los electrones, aunque sean nubes de probabilidad, deben ser impenetrables.

El mismo año 1925 se propuso que los electrones deben tener una propiedad, no detectada hasta entonces, llamada espín (spin en inglés), y pueden estar en dos estados: con espín +1/2 o espín -1/2. Estos dos estados suelen representarse simbólicamente mediante una flecha hacia arriba o hacia abajo.

Gracia a la posibilidad de tener diferente espín, en cada orbital atómico pueden situarse dos electrones, uno con espín positivo y otro negativo (por tanto no tienen exactamente el mismo estado cuántico y no les afecta la exclusión de Pauli). Pero ya no caben más variaciones en ese orbital, por lo cual otros electrones tienen que situarse en orbitales diferentes.

Fermiones y bosones

Pronto se vio que las demás partículas de 'materia' como protones, neutrones, positrones, neutrinos, etc. también cumplían el principio de exclusión o 'impenetrabilidad' de Pauli. De hecho es por eso que las consideramos 'materia' y que pueden construir estructuras que ocupan espacio a expensas de otras partículas de materia.

Todas estas partículas 'impenetrables' tienen una característica común: su espín no es entero, sino fraccionario, y se llaman fermiones. Los fermiones se agrupan en varias familias donde se encuentran tanto los ligeros leptones (electrones y neutrinos entre ellos) como los más pesados quarks, que forman protones, neutrones y otras partículas más exóticas.

Por otro lado, se vio que las demás partículas/ondas conocidas, las que no cumplen el principio de exclusión, tienen un valor de espín entero (0, 1, 2...). Son los llamados bosones.

Podríamos decir que los fermiones tienen un 'espacio personal' en el que no les gusta que entren otros fermiones, mientras que los bosones son como 'fantasmas' gregarios a los que les da igual atravesarse y amontonarse.

¿Que papel juegan los bosones? Aunque no pueden formar estructuras, los bosones interactúan con los fermiones, llevando energía de unos a otros, es decir, son los intermediarios de las cuatro fuerzas fundamentales de las que se derivan todas las que observamos en la naturaleza; aunque el modelo cuántico de la gravedad, basado en un hipotético bosón llamado gravitón, aún está por comprobar.

Esta reducción de las formas de materia y fuerza a unas pocas familias de partículas conforma el llamado modelo estándar, que se ha visto vindicado por el descubrimiento largamente anunciado del bosón de Higgs, una partícula que interactúa con las demás partículas para dotarlas de masa.

Por cierto, que algún genio del humor ha tenido la idea de eliminar los bosones de Higgs para conseguir la ansiada pérdida de peso (ja, ja).

También resulta tentador pensar que podrían existir tipos desconocidos de bosones que no interactuarían con la materia, que no serían portadores de ninguna fuerza en particular, y que por tanto podrían llenar el espacio en grandes cantidades sin otro efecto que su atracción gravitatoria. En otras palabras, podrían formar la llamada materia oscura que constituye el 23% de la masa-energía del universo.

Pero, volviendo a nuestro tema, ¿por qué esa misteriosa propiedad del espín tiene un efecto tan dramático sobre la forma en que se comportan las partículas? ¿Y cuál es la causa de que dos 'nubes de probabilidad' de dos fermiones no puedan encontrarse en el mismo estado? ¿Quién o qué lo prohibe?

Aunque Pauli formuló en 1925 el principio de exclusión, salvando el modelo atómico cuántico y la estabilidad del universo  :-) no pudo demostrar entonces por qué el espín no entero de las partículas produce la 'impenetrabilidad'.

Pauli tuvo que esperar hasta el desarrollo de la Teoría Cuántica de Campos para poder demostrar en 1940 el porqué de la exclusión, probando el llamado Teorema de Estadística del Espín.

Vamos a ver de forma simplificada en qué consiste este teorema, y luego veremos por qué explica la impenetrabilidad.

El Teorema de la Estadística del Espín para principiantes

El teorema afirma que:

• Si intercambiamos entre sí dos partículas de espín semientero (fermiones), la función de onda combinada de la pareja cambia de signo.
• Si intercambiamos dos partículas de espín entero (bosones), la función de onda combinada NO cambia de signo.

Como veremos en el siguiente punto, el hecho de que la función de onda combinada cambie o no de signo es precisamente lo que causa el diferente comportamiento de bosones y fermiones respecto a la penetrabilidad.

La demostración del teorema es difícil de entender para los no iniciados (como yo), pero intentaré dar una idea.

La clave es la misteriosa propiedad del espín, que significa 'giro' en inglés, como el giro de una peonza. En la física clásica podríamos pensar en una partícula como una bolita con carga eléctrica, y la misma teoría clásica nos dice que al girar esta bola crearía un campo magnético orientado según su eje de giro, con un sentido que depende de si la bola gira 'a derechas' o 'a izquierdas' respecto al eje:

Sin embargo, esta explicación clásica no es válida para las partículas elementales, por varias razones:

• Clásicamente, el espín debería poder tomar cualquier valor, según su velocidad de giro. Sin embargo, según lo observado, las partículas elementales solo puede tener un valor determinado de espín, ni más ni menos. El espín está cuantizado. Lo único que puede cambiar es su signo, positivo o negativo.
• En la explicación clásica el espín tiene un eje definido de giro. Sin embargo, en las observaciones realizadas el eje del espín es definido por el experimento (según se orienta el campo magnético del detector) y el resultado es que el espín se orienta en el mismo sentido del campo magnético con el que se mide (valor +1/2 para un electrón) o en sentido contrario (valor -1/2), pero en ninguna otra dirección.

Por tanto el espín es una propiedad numérica intrínseca de las partículas como la carga o la masa, que puede tomar en cada caso un único valor positivo o negativo (si es diferente de cero, claro).

Lo que nos importa para el Teorema relacionado con la impenetrabilidad es que el spin tiene que ver con cómo la partícula cambia al girar, en realidad, con la forma en que su función de onda probabilística cambia cuando la partícula gira en el espacio.

Las partículas de espín entero, los bosones, aparentemente no tienen ningún misterio. Su función de probabilidad, que define todas sus propiedades, no cambia cuando la partícula da un giro completo de 360 grados. Esto parece lo más intuitivo.

Pero los fermiones, con un espín semientero, se comportan de una forma curiosa. Al dar una vuelta de 360 grados su función de onda invierte su signo. Esta inversión no tiene en sí misma un efecto observable, ya que la probabilidad de un estado viene dada por el cuadrado de la función de onda, y por tanto da igual que ésta sea positiva o negativa. Sin embargo, como veremos, la inversión tiene importantes efectos al combinarse con la función de otras partículas, igual que sucedía en las interacciones que causan las fuerzas.

Por ejemplo, para que un electrón que ha dado un giro de 360 grados vuelva a tener el mismo estado que al principio, es necesario que dé otra vuelta de 360 grados. Esto es lo que significa que su espín es 1/2. Son necesarias dos vueltas para dejarlo igual.

Esta propiedad puede parecer anti-intuitiva. Sin embargo,  podemos comprobarla en nuestra vida cotidiana, como muestra este vídeo:

La demostración con el vaso de agua apunta al hecho de que el espín semientero está relacionado con propiedades topológicas de las partículas respecto al espacio que las rodea, como si la partícula estuviera ligada o atada de alguna forma al espacio.

El físico Paul Dirac, uno de los pioneros de la física cuántica, lo explicaba suponiendo que la partícula de espín semientero estaba pegada a un cinturón. Dirac se dio cuenta que con un giro de 360 grados, la partícula se enredaba irremisiblemente, pero dando otro giro completo llegaba a un estado en el que el cinturón se podía desenredar para volver al mismo estado inicial. Esta animación lo demuestra:

Este video demuestra de forma casera el efecto restaurador de la doble vuelta, tanto con el vaso de agua como con el cinturón:

Bien, pues llegamos a la clave de la explicación del teorema. Resulta que si tenemos dos fermiones, al intercambiar uno con otro causamos el mismo efecto sobre la función de onda completa que cuando damos un giro de 360 grados a un solo fermión: el signo de la función se invierte. Sin embargo, si intercambiamos de nuevo los fermiones, dejándolos en la posición original, el enredo de su función de onda desaparece. Este vídeo lo muestra de forma gráfica:

Aunque la prueba real es mucho más complicada, vemos claramente que existe una relación entre el espín 1/2 de las partículas girando 360 grados y la forma en que se comportan al intercambiar su posición con otra partícula idéntica. En ambos casos se invierte el signo de la función de onda, y esto es lo que prueba el teorema.

Cambio de signo y exclusión

Ya solo nos queda por explicar por qué el cambio de signo en la onda de probabilidad hace que dos partículas de tipo fermión no puedan tener el mismo estado cuántico, que no puedan estar 'en el mismo sitio'. Aquí podéis seguir la demostración de manera sencilla con notación moderna. De este artículo he adaptado la siguiente explicación.

Imaginemos dos estados cuánticos (dos funciones de onda) a y b, por ejemplo, dos órbitas alrededor de un núcleo atómico, e imaginemos que estos estados pueden estar ocupados respectivamente por dos electrones Ψ1 y Ψ2:

El estado combinado, la función de onda total de los dos sería el resultado de multiplicar las funciones de los dos electrones, cada uno en su estado. Suponiendo que el electrón 1 está en el estado a y electrón 2 en el estado b:

Ψ(a,b) = Ψ1(a) Ψ2(b)

Como hemos visto en el teorema anterior, al ser partículas de espín semientero, si intercambiamos los estados a y b de cada electrón (cambiamos los electrones de órbita) la función de onda total se invertiría de signo:

Ψ(b,a) = -Ψ1(a) Ψ2(b)

Ahora consideremos la suma de ambas:

Ψ(a,b) + Ψ(b,a) = Ψ1(a) Ψ2(b) - Ψ1(a) Ψ2(b)

En el lado derecho de la igualdad estamos restando dos términos iguales, por tanto el resultado es cero:

Ψ(a,b) + Ψ(b,a) = 0

Esto nos dice que es imposible (la probabilidad es cero) que los electrones Ψ1 y Ψ2 ocupen dos estados a y b de una forma y de su inversa, al mismo tiempo. Pero si sustituimos b por a en la ecuación anterior, considerando qué pasaría si estuvieran los dos electrones en un mismo estado a, obtenemos:

Ψ(a,a) + Ψ(a,a) = 2 Ψ(a,a) = 0

Y por tanto, dividiendo por 2 a ambos lados de la segunda igualdad:

Ψ(a,a) = 0

Es decir, la probabilidad de que dos electrones estén en el mismo estado es nula: sus funciones de onda se cancelarían debido al cambio de signo asociado a su espín semientero. Como queríamos demostrar.

Para evitar esta posibilidad aparece una fuerza repulsiva, la 'impenetrabilidad', que no es realmente una interacción entre los electrones sino un efecto de la imposibilidad de combinar sus funciones de probabilidad.

Por otra parte, para los bosones tendríamos que no hay cambio de signo al invertir las posiciones, y por tanto:

Ψ(a,b) + Ψ(b,a) = Ψ1(a) Ψ2(b) + Ψ1(a) Ψ2(b) = 2 (Ψ1(a) Ψ2(b))

Y sustituyendo b por a:

Ψ(a,a) + Ψ(a,a) = 2 (Ψ1(a) Ψ2(a))   de donde

Ψ(a,a) = Ψ1(a) Ψ2(a)

Es decir, los dos bosones Ψ1 y Ψ2 pueden estar en el mismo estado a sin problema alguno.

Cambiando de identidad

Hay muchas pruebas experimentales de que el comportamiento de 'impenetrabilidad' está relacionado con el espín de las partículas. El efecto más impresionante sucede cuando al combinarse varios fermiones el espín total pasa a ser entero, y esto hace que lo que antes era materia ordinaria pase a comportarse como bosones, sin miedo a mezclarse en el mismo estado.

Por ejemplo, los protones y neutrones son combinaciones de 3 quarks de espín semientero (y por tanto la suma es también semientera), pero hay otras partículas que se forman por la combinación de un quark y un antiquark: se llaman mesones.

Según se sumen o se resten los espines 1/2 de sus dos quarks, los mesones tienen espín total 0 ó 1, y por tanto se comportan como si fueran bosones. A pesar de que tienen masa, pueden combinarse en el mismo estado. Su comportamiento gregario es un efecto de su espín entero.

Sin embargo, los comportamientos bosónicos de los mesones son difíciles de observar, porque se desintegran muy rápidamente.

Los que sí se pueden observar son los estados de condensado de Bose-Einstein, que se consideran un estado diferente de la materia (en realidad, un estado en el que la materia deja de ser materia y pasa a ser una combinación de bosones, perdiendo la resistencia a la impenetrabilidad).

Este estado se consigue al enfriar la materia a muy bajas temperaturas. Al decrecer la vibración de las partículas y átomos, éstos pueden emparejarse, sumándose sus espines semienteros y pasando a comportarse como bosones.

Este video lo explica magníficamente:

Un ejemplo muy conocido es el de los materiales superconductores. Al enfriarse, sus electrones libres se emparejan (pares de Cooper), actuando como bosones. Al perder su resistencia a la penetrabilidad circulan por el conductor sin resistencia alguna, pudiendo crear fuertes campos magnéticos usados para levitación magnética, aceleradores de partículas, etc.

Otro ejemplo, muy espectacular, es el de los superfluidos como el helio líquido enfríado cerca del cero absoluto. Su comportamiento cambia radicalmente a muy baja temperatura, perdiendo toda su viscosidad y haciendo cosas extrañas como subirse solo por las paredes de los recipientes que lo contienen para igualar su nivel con el líquido que hay fuera (un resultado del efecto túnel cuántico).

Por tanto vemos que la diferencia entre fermiones y bosones, entre materia y pura energía, no es tan clara como podría parecer.

De hecho, en el camino hacia la unificación de todas las partículas, de una teoría del todo, el último paso a dar sería la demostración de que los bosones y fermiones pueden, en las altas energías que dieron lugar al Big Bang, unificarse y confundirse: es la llamada supersimetría, teoría que predice nuevas partículas que quizás sean encontradas por la versión mejorada del LHC.

En otra ocasión hablaremos con más detalle de la supersimetría. 

De momento, os dejo hasta Septiembre mientras disfrutamos de un merecido descanso.

   Salvador