Pero, ¿qué es el tiempo?

 Es una de esas grandes preguntas para las que nadie tiene una respuesta clara. Aunque nuestra vida cotidiana y toda la ciencia entera se base en el concepto y la medida del tiempo, no entendemos realmente qué es, por qué fluye siempre en una dirección y por qué sólo percibimos el delgado filo que existe entre el pasado y el futuro.

Antes de hablar, en una entrada próxima, de los viajes en el tiempo, intentaremos presentar el concepto desde una perspectiva científica moderna y nos permitiremos elucubrar un poco sobre él.

El tiempo como dimensión

En una entrada anterior vimos que, según el filósofo Immanuel Kant, el tiempo no es algo que podemos percibir con los sentidos, no es algo objetivo que exista en el mundo fuera de nosotros, sino que se trata más bien de una categoría que la mente impone a las percepciones para poder interpretarlas racionalmente. No podríamos concebir el mundo sin imponerle el tiempo (también el espacio, la cantidad y otras categorías).

Por tanto, no es de extrañar que las preguntas sobre el tiempo nos lleven a paradojas imposibles de resolver. Sin embargo, el propio Kant admitía que lo necesitamos para construir una imagen científica del mundo.

Sea como sea, tras el desarrollo de diversas nociones y teorías sobre el tiempo y el espacio en la historia de la filosofía (ver aquí un buen resumen) y de la ciencia (recomiendo el libro de Brian Greene "El Tejido del Cosmos"), en la época actual se ha llegado a una imagen dominada por la Teoría de la Relatividad de Einstein.

La Teoría de la Relatividad describe un tejido del universo formado por cuatro dimensiones: las tres dimensiones de espacio y una dimensión de tiempo. En la siguiente figura se dibujan solamente dos de las tres dimensiones espaciales. En su centro se encuentra la posición de un observador en un lugar y momento determinados. Los conos indican aquellos lugares del espacio tiempo que pueden afectar a este observador (como del pasado) o que el observador puede afectar (cono del futuro), teniendo en cuenta que ninguna información puede viajar más rápido que la luz.

El gran cambio que supuso la teoría de Einstein fue el rechazo del carácter absoluto del espacio y el tiempo como dimensiones separadas. Ambas dependen del movimiento del observador y de la gravedad, tal como vimos en esta entrada anterior. El siguiente video explica de forma gráfica los efectos de contracción de las distancias y dilatación del tiempo.

Sin embargo, contra las interpretaciones populares de la teoría, la Relatividad no acaba con la noción de un espacio y tiempo absolutos. Espacio y tiempo son por separado relativos al movimiento, pero el espacio-tiempo combinado en cuatro dimensiones es absoluto y estático. Todo lo sucedido y todo lo que sucederá en cualquier instante de tiempo está ya contenido en una 'loncha' de este espacio-tiempo 4D.

Einstein pensaba que "Pasado, presente y futuro son sólo ilusiones, aunque sean ilusiones pertinaces", y el físico y divulgador científico Paul Davies lo resume diciendo que "el tiempo, en su marco conceptual, no transcurre, sino que simplemente es". Curiosamente, con la teoría de la relatividad se vuelve a la noción de Parménides de que el cambio realmente no existe, tan solo hay un 'ser' estático.

Recientemente se están elaborando teorías, como la de Wheeler y Spencer, que intentan mostrar cómo el tiempo puede surgir de la atemporalidad, como una mera medida de distancia desde el Big Bang en el espacio de cuatro dimensiones.

Para escapar a esta visión estática y determinista del espacio-tiempo tendríamos que recurrir a la noción de universos paralelos, multiverso o mundos múltiples. Nos referimos aquí no a universos que coexisten en un mismo espacio tiempo 4D o que están separados por otras dimensiones espaciales, sino a universos 4D que están separados por una segunda dimensión temporal como propone el físico Itzhak Bars.

En esta teoría, además de poder movernos por el tiempo normal de nuestro universo podríamos movernos de un universo alternativo a otro utilizando la segunda dimensión temporal.

Otra variante de la misma idea. Según la teoría cuántica clásica, cada partícula puede estar en múltiples estados mientras no se observa. Aunque esta 'superposición de estados' parezca extraña, se comprueba constantemente de forma experimental. Pues bien, según la interpretación de los mundos múltiples de la mecánica cuántica, cuando se mide el estado de una partícula, o en general cuando interactúan partículas con objetos, cada posible resultado aparece en un universo alternativo, y todos ellos son igualmente reales.

La flecha del tiempo

Si la naturaleza del tiempo como dimensión es un misterio, aún lo es más el hecho de que, a diferencia del espacio, esta dimensión parece fluir siempre en la misma dirección y solamente tenemos acceso a un punto de esa "línea temporal" (el presente). Es posible ver las huellas que ha dejado el pasado sobre el momento actual, pero nunca podemos observar el futuro, ni directamente ni mediante 'huellas' en el presente (a menos que creamos en la premonición, la adivinación, etc.).

Se utiliza la expresión 'flecha del tiempo' para referirse a estas características direccionales de la dimensión temporal. La noción tiene varios aspectos, unos físicos (la aparente irreversibilidad de los cambios en el tiempo) y otros psicológicos (la percepción limitada al presente y la visión unidireccional del tiempo).

La expresión 'flecha del tiempo' fue precisamente acuñada por el astrónomo Arthur Eddington en 1927 para abordar el problema de asignar una dirección al tiempo en la teoría de la relatividad.

La paradoja a la que nos enfrentamos es que las ecuaciones de la física, incluyendo la mecánica cuántica, son reversibles en el tiempo. Desde el punto de vista de la física de partículas una película hacia atrás es tan posible como una película hacia adelante. Sin embargo nosotros percibimos siempre en nuestra realidad la 'película hacia adelante': vemos que los vasos se rompen y el agua se derrama, pero no a la inversa. Es la llamada paradoja de Loschmidt.

La explicación habitual desde Eddington es que la flecha del tiempo es causada por la segunda ley de la termodinámica. El desorden (entropía) siempre crece, lo que hace que los procesos donde intervienen muchas partículas y se disipa energía (como el vaso que se rompe) sean irreversibles en el tiempo.

Sin embargo, esta explicación tiene un gran fallo. Presupone lo mismo que pretende explicar: que el tiempo avanza siempre hacia el futuro. La explicación microscópica del segundo principio de la termodinámica dice simplemente que un sistema pasa a estados más probables y que el desorden es más probable, por lo que lógicamente se tenderá a evolucionar a mayor desorden. La interpretación común es que esto sucede al ir avanzando en el tiempo:

Pero, como hemos visto, las leyes microscópicas de la física son reversibles y por lo tanto si suponemos un estado ordenado en un instante y pensamos qué pasaría si retrocediéramos hacia atrás en el tiempo, según las ecuaciones nos encontramos con el mismo resultado: un estado desordenado en el pasado:

Es decir, no hay nada que explique porqué la segunda ley de la termodinámica no funciona también en sentido temporal contrario (hacia el pasado).

¿Cómo se soluciona esta paradoja? Lo normal es utilizar el Big Bang, como hace Brian Greene. El origen del universo que conocemos se produjo en un estado muy ordenado. Si asumimos la versión oficial de la teoria, el espacio-tiempo se creó en ese mismo instante, y así eliminamos la posibilidad de ir hacia atrás en el tiempo desde ese punto de baja entropía: problema solucionado (si se acepta esta explicación):

Otra solución sugiere que en realidad en el Big Bang se crearon dos universos, uno que evolucionó en una dirección de tiempo y otro en la opuesta a partir del momento de la creación, cada uno avanzando hacia estados más desordenados. Nuestro universo podría ser cualquiera de los dos, puesto que no sabemos distinguir la dirección +t de la dirección -t (en ambos casos parece que todo se mueve 'hacia delante' en el tiempo).

Estas teorías se denominan de los dos 'futuros', uno en cada dirección del tiempo.

Otra solución más, cortesía de Roger Penrose, especialista en resolver problemas raros con ideas aún más raras, es que de alguna manera el estado futuro de nuestro universo, con un máximo desorden, se convierte en el Big Bang de un nuevo ciclo universal.

¿Cómo se puede producir este 'reinicio'? La idea de Penrose es que debemos pensar en una escala diferente. Visto por unos seres que vivieran en una escala de tiempo y espacio mucho mayor que la nuestra, el fin de nuestro universo sería equivalente al principio de uno nuevo. Quien quiera intentar entenderlo puede consultar el libro de Penrose.

Elucubraciones bidireccionales

Personalmente no me convence ninguna de las explicaciones anteriores. Podrían explicar porqué la entropía crece a gran escala en el universo, pero no porqué existe una irreversibilidad en las situaciones cotidianas como la rotura de un vaso. Si creáramos una caja completamente aislada del resto del universo, de manera que no le afectara nada de lo que sucede alrededor (y mucho menos la expansión del universo), aún tendríamos que explicar porqué en su interior el desorden solo crece hacia el futuro.

Hay algunos intentos de buscar explicaciones que no utilicen la cosmología. Una es la teoría propuesta por Lorenzo Maccone, basada en el concepto de entropía o información cuántica. Maccone demuestra que en ciertas situaciones, cuando el estado de diferentes partículas está ligado se puede producir una reducción de la entropía en una parte del sistema 'borrando' su estado, aprovechando el hecho de que está enlazado a otras partes del sistema.

Lo que esta teoría sugiere es que sería concebible que en nuestro universo hubiera un flujo de aumento de entropía hacia el futuro y también otro simultáneo de disminución, del que no seríamos conscientes. Esto explicaría que nos parezca 'avanzar' en el tiempo en la dirección de aumento de la entropía.

Puestos a pensar en flujos simultáneos de entropía en direcciones inversas de tiempo, se me ocurre recurrir al concepto de taquión, muy utilizado en ciencia-ficción, que tiene su base en las matemáticas de la Teoría de la Relatividad.

Los taquiones serían partículas hipotéticas con masa imaginaria (compatible en principio con las ecuaciones de Einstein), lo que las dotaría de extrañas propiedades:

• Al contrario que la materia ordinaria (que se mueve siempre a velocidad inferior a la luz), la 'materia taquiónica' se movería siempre con velocidad superior a la de la luz. Por tanto, fuera del cono en el que se mueve la materia ordinaria en el espacio 4D (véase la flecha roja en el siguiente diagrama):

• Al aumentar su energía, los taquiones irían más lentos (en lugar de aumentar su velocidad, como las partículas ordinarias).
• Los taquiones viajarían hacia atrás en el tiempo desde el punto de vista de la materia ordinaria.

De las propiedades anteriores podemos ver que habría tres ámbitos de la realidad respecto al tiempo:

• La materia ordinaria, de masa real. Al aumentar su energía puede moverse más rápido, pero sin llegar a alcanzar el límite de la velocidad de la luz.
• La materia de masa nula (incluye la luz, y quizás los neutrinos y otras partículas de masa cero). No puede moverse a una velocidad diferente a la luz (en el vacío) y el tiempo no transcurre para ella.
• La materia taquiónica (masa imaginaria). Se mueve más rápido que la luz, pero al aumentar su energía disminuye su velocidad, acercándose a la de la luz. El tiempo para ella se mueve en sentido contrario al de la materia ordinaria.

Esta imagen de una realidad dual permitiría conciliar dos flujos de entropía, uno que se moviera hacia el aumento del desorden en el 'futuro' (el nuestro) y otro que aumentara el desorden hacia nuestro pasado, pero en un ámbito de la realidad que no se comunica con el nuestro, preservando la simetría total de la entropía y del tiempo. Aquí queda la idea.

Muchos físicos rechazan la posibilidad real de los taquiones, porque en el caso de que ese ámbito de la realidad pudiera comunicarse con el de la materia ordinaria sería posible recibir señales del futuro y enviarlas al pasado (razón por la cual los taquiones son utilizados por los escritores de ciencia-ficción). Esta situación nos llevaría a las conocidas paradojas causales del tipo: "¿Qué pasa si matas a tu abuelo?". Como trataremos del viaje en el tiempo la próxima entrada, dejamos esa discusión para entonces.

Música intemporal

El tema del tiempo ha inspirado clásicos de la literatura, la pintura y la música. Os dejo una muestra muy personal.

• "Time" de Pink Floyd. Aún apabullante después de tantos años...

• "Time" de Alan Parsons Project. Quizás un poco enmohecido, pero la poesía aún persiste:

• "Twilight", del album "Time" de la Electric Light Orchestra. También se va desplazando a un pasado de baja entropía, pero su energía aún puede activarnos en el presente.

• "Time", tema final de la película "Origen". Demuestra que el tema del tiempo es inmortal e inagotablemente emotivo.

Hasta la próxima (o la anterior, para los que miren desde el futuro),

   Salvador

Las paradojas de la razón autorreferente (1/2)

 En el programa tradicional de la filosofía y la ciencia (al menos desde la Ilustración y los éxitos de la física newtoniana) se pensaba que utilizando un razonamiento riguroso, formalizado lógicamente, se podrían generar enunciados verdaderos y comprobar la veracidad o falsedad de cualquier afirmación sobre la realidad, al menos de las cuestiones clasificadas como científicas.

Este programa 'clásico' se ha ido demostrando inviable por varias razones que quizás examinemos más adelante en el blog (pensemos en las implicaciones de la física cuántica respecto a la incertidumbre y la naturaleza probabilística de la propia realidad, o las consecuencias de la teoría del caos sobre la predictibilidad de los sistemas).

En esta entrada y la siguiente nos ocuparemos, sin embargo, de una serie de descubrimientos lógicos y filosóficos que tomados en su conjunto muestran una limitación intrínseca y básica del razonamiento formal, sea humano o computacional. Podríamos resumir esta limitación diciendo que cuando un sistema de razonamiento es tan potente que puede representar conceptos autorreferentes, de 'referirse' a sí mismo, de expresar el infinito, cae en paradojas lógicas que muestran su imposibilidad de generar verdades de manera consistente.

(ilustración de Logicomix, un libro que comentaré en la siguiente entrada)

La paradoja de Epiménides o del mentiroso

Como muchas otras cuestiones relativas a la ciencia y la filosofía, las paradojas lógicas del razonamiento autoreferente comenzaron con los antiguos griegos. Epiménides, un filósofo y poeta griego del siglo VI a.C., afirmó en uno de sus poemas que "Todos los cretenses son unos mentirosos", planteando sin proponérselo una paradoja, ya que él mismo era cretense.

Para formular la paradoja en términos más modernos, pensemos que Epiménides, o cualquier persona, dijera "Estoy diciendo una mentira", o "Esta frase es mentira".

La paradoja se hace aparente si pensamos, como haría la lógica 'clásica', que todo enunciado bien formado y con términos de significado definido debe ser o bien verdadero o bien falso. Sin embargo el enunciado "Esta frase es mentira" no puede ser verdadero (por que entonces, según él mismo dice, sería falso), pero tampoco falso, ya que entonces no sería cierto que es una mentira, y por tanto no sería falso.

Verdadero -> Falso

Falso -> Verdadero

En versiones más modernas de esta paradoja, que analizaremos más adelante, se repiten la incapacidad del razonamiento para representar o analizar un objeto, enunciado o problema:

• El objeto, enunciado o problema se refiere a sí mismo (autorreferencia, que cuando es repetida lleva a la recursividad infinita)
• El objeto, enunciado o problema niega algo sobre sí mismo

Debemos notar que el problema no depende de un enunciado específico, pues la capacidad de autorreferencia pertenece al lenguaje mismo que estamos juzgando. Por ejemplo, puede construirse la autorreferencia de forma cruzada entre dos enunciados y el problema de indecibilidad entre verdad y falsedad se produce de la misma manera:

Frase izquierda verdadera -> frase derecha falsa -> frase izquierda falsa

Frase izquierda falsa -> frase derecha verdadera -> frase izquierda verdadera

Podemos notar aquí otra característica común a las paradojas de autorreferencia: el proceso de evaluar la verdad o falsedad (resolver el problema) se convierte en una cadena infinita de inferencias o evaluaciones. Veremos en la segunda parte, al explicar el problema de la parada de Turing, que esta recursión infinita es precisamente el síntoma de la paradoja cuando la tratamos de forma computacional.

Como hizo con otros conceptos formales, el maestro del grabado M.C. Escher representó de manera inigualable la paradoja de la autorreferencia cruzada en su cuadro "Manos":

Que podemos ver aquí en versión 'actualizada':

Las paradojas de Zenón y la escuela de Elea

Otro frente de batalla en la duda sobre el alcance del razonamiento formal es la discusión de la capacidad o incapacidad de la razón para comprender conceptos básicos que deben servir para representar y comprender la realidad. También fueron los antiguos griegos los primeros en cuestionar si la razón podía informarnos adecuadamente de estos conceptos o categorías básicas de la percepción y el razonamiento sobre el mundo, concretamente acerca del espacio y el tiempo, y del movimiento como relación entre ambos.

Zenón, uno de los filósofos de la escuela de Elea, planteó varias paradojas, de las cuales la más conocida es la de Aquiles y la Tortuga. El corazón de la paradoja era la suposición de que una suma infinita de distancias no podía recorrerse en un tiempo finito. En este vídeo podéis ver una divertida y gráfica explicación:

Dado que estas paradojas parecían mostrar que el concepto de movimiento no era racionalmente sustentable, otros filósofos de la escuela, como Parménides, adoptaron la posición radical de que toda la diversidad y cambio aparente en la realidad era una pura ilusión, que el ser verdadero es único, omnipresente, eterno e indivisible, y que la verdad es solamente alcanzable por la razón pura ignorando los datos ilusorios de nuestra percepción o experiencia. Esta última idea es el punto de partida del racionalismo metafísico occidental.

Afortunadamente, el cálculo diferencial e integral de Leibniz y Newton mostró cómo el movimiento es posible al combinarse una cantidad infinita de trozos infinitesimales de espacio y tiempo para describir la trayectoria y velocidad de los cuerpos. Se solucionaron así las paradojas de Zeón. Fue una primera victoria contra el abismo conceptual del infinito, pero aún quedarían muchas más batallas y no todas podrían ganarse.

La crítica Kantiana: los límites de las categorías racionales

El filósofo Immanuel Kant, apoyado sobre el análisis previo realizado por los empiristas ingleses encabezados por David Hume, puso de manifiesto en su Crítica de la Razón Pura que el programa racionalista era inviable: la razón humana no permite manejar de forma consistente las categorías de espacio, tiempo y causalidad cuando intenta llevarlas más allá de nuestra experiencia.

Así, las preguntas sobre si el Universo es finito o infinito, si está formado por unidades indivisibles o es continuo, si existe la posibilidad de la acción incausada (libre albedrío-alma) o no, y si existe una causa primera o no (origen-dios), no son resolubles de forma racional, y por tanto la Metafísica no puede abordarse como una ciencia.

Tal como se explica aquí, tanto si las respuestas son afirmativas (tesis) como si son negativas (antítesis), todas son defendibles desde el punto de vista de la pura razón, y además la experiencia no puede confirmar ni refutar a unas ni a otras.

Por ejemplo, si pensamos en un espacio o tiempo con un límite, siempre podremos preguntarnos qué hay más allá de ese límite, por lo cual el concepto de comienzo o final del tiempo y el espacio no tiene sentido. Por otro lado, según Kant tampoco un espacio o tiempo infinito tiene sentido racional, porque nunca podemos experimentar el infinito en toda su extensión y no podemos por tanto concebirlo.

El mismo problema se hace patente con lo que Kant llama las Ideas Trascendentales: Alma, Mundo (Universo) y Dios. Según Kant, son ideas que no se adquieren ni hacen referencia a la realidad que experimentamos directamente (realidad fenoménica). Podemos pensar en esas ideas (que según Kant son necesarias para el funcionamiento práctico en la sociedad) pero no conocerlas racionalmente, porque son precisamente el límite donde nuestro conocimiento ha de detenerse, ya que quedan fuera de la experiencia posible.

Veremos en la segunda parte que la filosofía más moderna de Wittgenstein llega a una conclusión parecida a partir del análisis de la lógica y del lenguaje.

Para más información:   :-)

Los programas de racionalidad formal: Hilbert, Rusell y el positivismo lógico

La posibilidad de abarcar racionalmente el conocimiento de ámbitos que parecen 'infinitos', como algunas ideas o la propia experiencia, recibió un nuevo impulso a finales del siglo XIX a partir del trabajo de Georg Cantor para dominar matemáticamente el concepto de infinito, así como de las investigaciones de Gottlob Frege al poner las bases de la moderna lógica matemática.

 

 

Con este renovado optimismo, el más eminente matemático de su tiempo, David Hilbert, que acababa de publicar una nueva axiomatización de la Geometría, presentó en 1900 una lista de 23 problemas matemáticos que quedaban por resolver (actualmente quedan tres de ellos sin solucionar, y otros en discusión). Algunos de estos problemas eran particularmente importantes para asentar la matemática y las ciencias (particularmente la Física) sobre una base firme.

En particular, el segundo problema pedía probar que los axiomas de la aritmética (las operaciones con números enteros) son consistentes, esto es, que la aritmética es un sistema formal que no permite derivar o demostrar una contradicción. Veremos en la segunda parte de esta entrada que la solución del matemático Gödel a este problema va a suponer un mazazo a los planes de formalización completa del conocimiento.

Años más tarde, el mismo Hilbert (que tenía buen ojo para detectar problemas díficiles) enunció el llamado problema de la decisión, cuya solución por parte de Church y Turing también limita el alcance del conocimiento matemático por causa de una paradoja autorreferente, que también veremos en la segunda parte.

Sin embargo, a principios del siglo XX aún había lugar para el optimismo racional desaforado. El programa de investigación de Hilbert inspiró al filósofo Bertrand Rusell y al matemático Alfred North Whitehead (ambos trabajando en la Universidad de Cambridge) la idea de crear un sistema formal que abarcara y fundamentara todo el conocimiento matemático a partir de primeros principios o axiomas, publicando conjuntamente su monumental obra de los Principia Mathematica.

En los Principia, Russell y Whitehead utilizaban un sistema formal de cálculo lógico basado en la notación de Frege y en axiomas escogidos para diferentes áreas de la matemática. El objetivo es fundamentar la aritmética a partir de la teoría de conjuntos y extenderla hasta los números reales. Por ejemplo, véase la siguiente demostración de que 1+1=2   :-)

Este programa de formulación de las matemáticas como sistema axiomático-deductivo se quiso extender también a la fundamentación del conocimiento del mundo físico, dando nacimiento al llamado empirismo o positivismo lógico, desarrollado por el llamado Círculo de Viena.

El enfoque del positivismo lógico era que solamente aportan conocimiento y tienen sentido los enunciados demostrables analíticamente (los de la lógica y matemáticas) o los que son verificables por los hechos (suponían que las teorías científicas lo serían). El resto de los enunciados se deberían desechar como 'metafísica' (término que adquiere un sentido despectivo).

En su vertiente positiva, el empirismo lógico pensaba que uniendo la lógica al método inductivo (la observacíón experimental de secuencias de hechos de los que se extraen reglas o leyes) sería posible fundamentar de forma lógica todo el conocimiento significativo, el de las ciencias.

Sin embargo, nunca se consiguió demostrar cómo se podía construir lógicamente una ley o concepto general a partir de percepciones individuales, si no se aceptaba de entrada la regla que se quería demostrar.

Por otra parte, los enunciados básicos de la propia doctrina positivista eran, según sus propios criterios, inverificables, y por tanto no eran significativos  :-) por lo cual la teoría se cancelaba o negaba a sí misma (otra versión de la paradoja del mentiroso).

La completitud y la consistencia como sustitutos de la verdad

En el camino de formalización del conocimiento matemático se dan diferentes dificultades. Los dos problemas más serios son la indecidibilidad o incompletitud y la inconsistencia. Un sistema formal tiene un problema de indecibilidad cuando existen enunciados formulables en el sistema de los que no se puede demostrar su verdad o falsedad, por lo que también se puede decir que el sistema es incompleto. Por otra parte, la inconsistencia se produce cuando el sistema permite deducir tanto una cosa como la contraria, generando una contradicción.

En algunos casos se ha encontrado que los axiomas propuestos para una rama de las matemáticas eran insuficientes para demostrar o refutar partes de la teoría y debían ser por ello completados con nuevos axiomas, pero sorprendentemente existían varias opciones válidas para hacerlo.

De esta forma, se llega a la conclusión de que la verdad de una teoría matemática es un concepto que es interno a cada sistema, pudiendo existir varias teorías matemáticas incompatibles pero cada una con perfecta coherencia interna, por lo cual no se puede utilizar la correspondencia con la realidad o con nuestra intuición como criterio de corrección de una teoría matemática.

El ejemplo más conocido del nacimiento de teorías incompatibles pero internamente completas y consistentes es el planteado por el quinto postulado de Euclides o axioma de las paralelas. Cuando Euclides formaliza la geometría propone cinco postulados o axiomas base, por ejemplo: "Entre dos puntos cualquiera se puede trazar una recta". Pero su quinto postulado, que dice "Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada" parecía a los matemáticos posteriores demasiado complicado para ser un axioma indemostrable y durante siglos se intentó probarlo a partir de los otros cuatro.

Sin embargo, en el siglo XIX se comprobó que era posible construir otras teorías geométricas (geometrías no euclidianas) cambiando el postulado de la paralela única (1) por un axioma que indica que no es posible ninguna paralela (2), o bien por otro que permite infinitas paralelas (3).

En el siglo XX se demuestra, además, que nuestro espacio-tiempo físico puede responder a cualquiera de los tres tipos de geometría, ya que todos cumplen las ecuaciones de la Relatividad General, y la elección de una u otra depende de la densidad de energía-materia en el universo. No hay una geometría más 'verdadera' que otra, aunque en la práctica una de ellas puede aproximar mejor la forma de nuestro espacio-tiempo particular.

Algo similar sucedió con otro de los problemas planteados por Hilbert, la Hipótesis del Continuo: la suposición de que entre el infinito de los números naturales y el de los números reales no hay otro tipo de infinito intermedio.

Hoy se sabe que esta suposición no se puede probar, sino que debe decidirse arbitrariamente si se quiere añadir a la teoría de números como axioma indemostrable o no.

La paradoja de Russell en la teoría de conjuntos

Al poco de dar Hilbert su lista de problemas, Russell descubrió que la teoría de conjuntos que habían formulado Cantor y Frege en el siglo XIX era inconsistente. Este descubrimiento fue un choque importante para él, porque Russell intentaba fundamentar la teoría de los números naturales sobre el concepto de conjunto, y si éste era inconsistente el edificio entero de la formalización lógica de las Matemáticas se derrumbaba.

La explicación de esta inconsistencia es lo que se conoce como Paradoja de Russell, y ofrece otro ejemplo claro de cómo una teoría se vuelve insostenible cuando se combina la autoreferencia y la negación.

La clave de la paradoja es que la teoría de conjuntos de Cantor y Frege permite formar conjuntos de conjuntos. Esto no parece demasiado problemático, pero aparece un mecanismo de autorreferencia que puede ser recurrente (conjuntos de conjuntos de conjuntos...). La paradoja de Russell surge de la siguiente manera:

• Llamemos a un conjunto normal si no se contiene a sí mismo. Por ejemplo, el conjunto de libros escritos por Russell, o el conjunto de los conjuntos vacíos (no es vacío, y por tanto no se contiene a sí mismo). Éste es el punto de partida de la paradoja, al combinar la autorreferencia ('contenerse a sí mismo') con la negación.
• Ahora definamos M como el conjunto que contiene a todos los conjuntos normales.
• Preguntémonos si M es normal o no.
• Si M fuera normal, por la definición de 'normal' no se contendría a sí mismo, pero al ser M por definición el conjunto de todos los conjuntos normales, esto implicaría que no puede ser normal, lo que contradice el punto de partida.
• Por otra parte, si M no es normal, implicaría que sí se debe contener a sí mismo, pero entonces (puesto que M contiene solo conjuntos normales) el conjunto sería normal, contradiciendo otra vez el punto de partida.

Notemos que se llega a una contradicción recurrente, siguiendo el mismo esquema de doble implicación que en la paradoja del mentiroso. De manera formal:

Logicomix dramatiza así el descubrimiento de Russell (pinchad la imagen para ampliarla):

En ocasiones se hace una analogía entre el descubrimiento de Russell y la llamada paradoja del barbero: si el sultán obliga a que los barberos solo afeiten a quienes no se afeitan a sí mismos, ¿quién afeita a los barberos? He aquí una presentación de la paradoja con una solución no muy ortodoxa  :-)

También puede explicarse de forma precisa utilizando el símil de un catálogo en lugar de conjuntos, como explica la siguiente figura.

Una solución incompleta

¿Y cómo solucionó Russell la paradoja? Pues no tuvo otra opción que prohibir la autorreferencia de los conjuntos (evitar que pudieran contenerse a sí mismos). 

Pero como aún necesitaba utilizar conjuntos de conjuntos para su sistema formal, Russell tuvo que definir una jerarquía de tipos de entidades: 1) objetos simples; 2) conjuntos que contienen objetos simples; 3) conjuntos que contienen objetos de tipo 2 ó 1; 4) conjuntos que contienen objetos de tipo 3, 2 ó 1; etc. Esta solución evita que un conjunto de tipo N se contenga a sí mismo, pero es complicada y anti-intuitiva. Sin embargo, era la única forma de mantener consistente la teoría, sacrificando el poder de la autorreferencia. 

Demostrando que esta cuestión de la autorreferencia paradójica es general en los sistemas formales y no exclusiva de la teoría de conjuntos, la misma solución que aplicó Russell tuvo que ser utilizada por Alonzo Church para evitar problemas en el cálculo lambda, que él mismo había inventado para formalizar el concepto de función recursiva.

Pero como veremos en la segunda parte de esta larga entrada, no podemos eliminar siempre la autorreferencia, porque es parte de la capacidad intrínseca y necesaria de los sistemas formales más potentes (como en el caso de la Aritmética), y por tanto no tenemos otra opción que utilizarlos aunque sean demostrablemente incompletos e indecidibles.

Como siempre, Escher plasmó como nadie el concepto de autorreferencia de forma visual en su cuadro Galería de grabados:

Y el siguiente vídeo lo utiliza de manera magistral para mostrar cómo la autorreferencia se convierte en una recursión (visual) infinita...

Hasta la próxima, la segunda y última parte de este recorrido por las paradojas y límites que impone la capacidad de autorreferencia en los sistemas formales.

     Salvador