Translate this page

Mostrando entradas con la etiqueta lógica. Mostrar todas las entradas
Mostrando entradas con la etiqueta lógica. Mostrar todas las entradas

sábado, 22 de febrero de 2014

¿Es posible el viaje en el tiempo?


 Siguiendo con el tema del tiempo, cuyo concepto tratamos en la entrada anterior, vamos a hablar en esta ocasión sobre la posibilidad de viajar a través de él. En una futura entrada comentaré también algunos mecanismos y tecnología específica que se ha propuesto para llevar a cabo estos viajes.

Transporte o comunicación


Lo primero que vamos a aclarar es que desde el punto de vista de su posibilidad y de las paradojas que involucran, no importa que hablemos de viaje en el tiempo o de transmisión de información a través de la historia. Si uno es posible, el otro también lo será.

Por ejemplo, si consiguiéramos enviar señales hacia el pasado, sería concebible (aunque difícil con nuestra tecnología actual) construir un receptor que decodificara las señales y construyera un objeto o un ser basado en esas instrucciones.

Como veremos, el viaje físico al pasado puede producir paradojas ("¿qué pasa si matas a tu abuelo?" es la más clásica), pero igualmente pueden aparecer suponiendo únicamente la transmisión de información: "¿Qué pasa si avisas a John F. Kennedy de que no vaya a Dallas el día de su asesinato?" o "¿Qué pasa si envías instrucciones al pasado para que alguien allí mate a tu abuelo?".


El tema de la transmisión de la información entre pasado y futuro ha sido tratado multitud de veces tanto en la literatura de ciencia-ficción como en películas, normalmente con el objetivo de cambiar el pasado y sus consecuencias.

Por ejemplo, en Cronopaisaje, son dos científicos los que se ponen en comunicación e intentan ayudarse salvando las dificultades de sus entornos respectivos:


Una película reciente que aborda una situación parecida es Frecuency, en la que un padre y un hijo se comunican por radio (?) a través del tiempo.



Una diferencia entre el viaje y la transmisión de información es que pareciera que en el segundo caso se requiere un mecanismo receptor que pueda recoger y decodificar las señales enviadas por el emisor. Por esta razón, la comunicación no podría realizarse hacia el pasado más allá del momento en que se inventa este mecanismo.

Sin embargo, también en el caso del viaje en el tiempo algunos argumentan la necesidad de que exista un mecanismo receptor. En este caso, no podríamos viajar al Jurásico o cualquier época anterior a la invención de la propia máquina (a no ser que alguna otra civilización ya dispusiera de un receptor en esa época).

Otra nota previa de importancia es la consideración de que todos los sistemas de teletransporte instantáneo que aparecen en historias y películas supondrían violar la limitación de la luz de la Teoría de la Relatividad, y como consecuencia implican un viaje también en el tiempo, aunque se suela ignorar esta consecuencia.

En la discusión que sigue vamos a asumir el concepto convencional de flecha del tiempo y supondremos que las causas operan del pasado hacia el futuro, aunque como vimos en la entrada anterior, esto está lejos de haber sido clarificado.

Viaje hacia el futuro


El viaje hacia el futuro no plantea problemas lógicos ni dificultades tecnológicas insalvables cuando lo único que deseamos es 'acelerar' nuestro viaje natural del pasado al futuro.

Una opción sencilla es congelar el efecto del tiempo para el viajero, sea a través de la hibernación (muy utilizada en ciencia-ficción) o la crionización, como aquellos que se congelan al morir con la esperanza de que alguien los despierte y reactive en el futuro.

La dificultad técnica más importante de estos métodos de 'viaje' es evitar los efectos entrópicos del tiempo mientras el viajero está 'congelado' (daños y descomposición de la materia orgánica) , algo que no se ha conseguido todavía salvo en el caso de bacterias que parecen tener mecanismos para reparar su ADN dañado.

Un ejemplo clásico en el cine es la película El Dormilón de Woody Allen, en el que la crionización del personaje es solo una excusa para crear una serie de situaciones cómicas ambientadas en el futuro (inolvidable orgasmatrón).


Una variante del método de congelación o hibernación sería el enlentecimiento relativo del tiempo para el viajero. Si de alguna manera se consigue aislarle de los efectos del tiempo en su entorno, creando una 'burbuja' de tiempo más lento, podrá 'viajar' más rápidamente de lo normal hacia el futuro.

Este mecanismo ha sido simulado visualmente para reproducir el viaje al futuro en las adaptaciones cinematográficas del clásico de H.G. Wells, La Máquina del Tiempo. Podemos ver aquí la escena de viaje al futuro en la versión del año 1960 y en la del 2002.



Otra modalidad de 'viaje hacia el futuro' por dilatación temporal aprovecha el efecto de las aceleraciones que acercan al viajero a la velocidad de la luz. Según prueba la Teoría de la Relatividad, estos viajes acelerados hacen que el tiempo transcurrido para el viajero sea menor que para los que viven en los planetas u otros sistemas en relativo reposo, como expliqué en esta entrada anterior donde se puede calcular la diferencia exacta.

En este documental se describe cómo podría ser el diseño de una nave pensada para conseguir las grandes velocidades necesarias para conseguir grandes dilataciones temporales:


Por último, tendríamos la opción de un salto directo o atajo por el espacio-tiempo hasta llegar a nuestro destino en el futuro. En este caso nos enfrentaríamos a paradojas y dificultades técnicas similares a las del viaje hacia el pasado.

Viaje hacia el pasado


Aún más que el viaje hacia el futuro, es el viaje hacia el pasado el que captura y excita nuestra imaginación, ya que nos enfrenta ante la idea de cambiar o investigar algo que ya ha sucedido, y por tanto la intrigante posibilidad de cambiar también el presente.


Comencemos con dos planteamiento nada ortodoxos del viaje al pasado. Primero, considerando el tiempo representado como sucesión de viñetas en un cómic:


Y otro ejemplo que podría verse como la versión moderna del viaje de Marcel Proust al pasado en su saga En Busca del Tiempo Perdido:


Pero, centrándonos ya en el viaje al pasado en el mundo físico, debemos saber que entramos en territorio abonado a las paradojas, aspecto que ya reconoció el filosófo Immanual Kant al darse cuenta de las limitaciones de las categorías de tiempo y causalidad al intentar 'salirnos' de ellas.

Un buen resumen sobre las paradojas del viaje en el tiempo podéis encontrarlo aquí. También aquí se hace un interesante análisis de las posibles soluciones, aunque nosotros vamos a plantearnos exclusivamente las opciones más cercanas a los planteamientos científicos actuales.


Como clasificación de los posibles escenarios para el viaje al pasado, voy a adjuntar aquí un magnífico gráfico del enlace anterior, para que nos sirva de índice:


Linea temporal fija


Vimos en la entrada anterior que según la interpretación ortodoxa de la Teoría de la Relatividad, que realiza el mismo Einstein, el espacio-tiempo 4D es estático y la percepción del tiempo es realmente una ilusión que sufrimos los que 'nos movemos' a través de él. En realidad no se puede cambiar nada, ni en el pasado ni en el futuro. Todo estaría predestinado, aunque no nos demos cuenta de ello.

El matemático Kurt Gödel, que vimos demostrando que la aritmética y todos los sistemas derivados son indecidibles, se hizo posteriormente amigo de Einstein y probó que las ecuaciones de la Relatividad permitían los bucles en el tiempo.

Pero para que fuera posible el viaje al pasado en este escenario de un espacio-tiempo estático, el bucle temporal debería existir desde siempre, estar también 'predeterminado'. Los viajeros temporales, igual los demás habitantes de este universo, no tienen posibilidad real de elección ni de cambiar nada.

El problema de estos bucles temporales predeterminados se denomina Paradoja de la Predestinación, cuya descripción podéis encontrar en inglés aquí, y mal traducido al español aquí.

En estos bucles temporales estáticos no caben situaciones como las de matar al abuelo o salvar a Kennedy, porque el bucle tiene que ser consistente causalmente y lógicamente (principio de autoconsistencia de Novikov). Por ejemplo, en la película Primer, que sólo recomiendo a los más valientes y pacientes, el viajero en el tiempo evita encontrarse con su doble para no producir una paradoja. Según la interpretación estática (y según algunos teóricos siempre que haya una única línea temporal), el bucle no sería posible si incluyera una paradoja causal.



Aunque Gödel y otros han probado la posibilidad teórica de que existan líneas de tiempo cerradas en el universo relativista, hay una fuerte discusión sobre si en realidad son posibles. La posición de Stephen Hawking y otros es que no lo son, y Hawking ha enunciado una conjetura que explica cómo esta prohibición es necesaria para mantener la consistencia en la cronología de los eventos, pero otros científicos piensan que estos bucles podrían ser posibles, al menos a escala microscópica y quizás ampliarse a escalas mayores. La solución a esta discusión no es posible sin el desarrollo de una teoría cuántica de la gravedad que unifique la Teoría Cuántica y la Teoría de la Relatividad, y por ello las ideas más modernas se apoyan en la Teoría de Cuerdas con este propósito.

Como elucubración personal, creo que los bucles temporales también serían posibles si se aceptara alguna forma de causalidad que operara hacia atrás en el tiempo, como comentaba en la entrada anterior, bien apoyada en partículas retro-temporales como los taquiones, o bien explorando de alguna otra forma una doble dirección para la flecha del tiempo.

Linea temporal dinámica


Un escenario a priori más interesante que el universo 4D estático es aquel en el que hay una sola línea de tiempo, pero ésta no está predeterminada, y por tanto está abierta a diferentes influencias causales del pasado o del futuro.

La posibilidad de este escenario es lo que hace interesante, pero también paradójico, el viaje hacia el pasado. Queremos viajar atrás en la historia para cambiar algo y mejorar el presente del que partimos (como el Terminator original viaja por orden de las máquinas para matar al futuro líder de la resistencia humana), aunque en ocasiones el que viaja se encuentra que no es posible realizar el cambio. A veces las historias y películas no son consistentes, y en un momento parecen apoyar el libre albedrío y la posibilidad de cambiar la línea temporal, y otras apoyan lo contrario.


Si aceptamos la flecha del tiempo convencional, la paradoja más obvia (llamada Paradoja del Abuelo) es que al viajar al pasado podemos causar un efecto hacia el futuro que cambie las circunstancias en que se produjo el viaje, incluso eliminando nuestra propia existencia (pero si eliminamos nuestra existencia, entonces no hubiéramos viajado y matado al abuelo...).



En muchas historias de ciencia ficción se utiliza a propósito el viaje al pasado para cambiar el futuro, a veces con consecuencias paradójicas.

El desarrollo más elaborado de esta idea es la magnífica novela de Isaac Asimov, El Fin de la Eternidad. La Eternidad es una organización de humanos que se mueven de una época a otra realizando 'ajustes' en la historia, gracias a sus ordenadores que calculan los posibles efectos. Para salvar a una mujer que desaparecería en uno de los cambios, el protagonista se embarca en una lucha contra la propia organización a la que su compañera y él acaban destruyendo, al prevenir su creación en el pasado.


Aunque en la Máquina del Tiempo de Wells y en otras historias como Terminator se utiliza un escenario de línea de tiempo dinámica para dar mayor libertad a los personajes, aparece una idea cercana al principio de autoconsistencia de Novikov, pero con un fundamento moral o religioso más que científico. Esta idea es que no deberíamos intentar cambiar el destino o la voluntad de los dioses, y aunque el protagonista consigue realizar un cambio (por ejemplo, en la Máquina del Tiempo el protagonista salva de su muerte original a su esposa), la 'inercia' del destino hace que el mismo resultado se produzca de todas formas por vías diferentes (su mujer muere por otras causas).

Igualmente en la saga de Terminator, los cambios producidos en la aparente victoria contra Skynet no detienen el 'inexorable' destino que enfrenta a las máquinas con la humanidad, lo cual viene muy bien para darle continuidad a la saga, claro.

Esta idea de que los cambios realizados en el pasado se propagan en el tiempo hacia el futuro se explota en muchos filmes, aunque en ocasiones la forma en la que se presenta no tenga sentido. Por ejemplo, en la película de Disney Descubriendo a los Robinsons, que recomiendo ver en familia a los que tengáis chavales, se puede ver 'en tiempo real' como se propagan en el futuro ('contaminado' por las acciones de los malos) los cambios que los buenos realizan en el pasado. No tiene ningún sentido, pero visualmente queda más resultón  :-)

Aquí tenéis la escena del viaje inicial al mundo futuro:


Por cierto, como hay gente que piensa en todo, si planeáis viajar al pasado, aquí tenéis un diseño de una 'chuleta' para imprimir en algún sitio (se recomienda una camiseta o camisa) con todos los conocimientos esenciales que os ayudarán para reconstruir las bases de nuestra civilización y predecir los avances 'futuros', y de paso haceros ricos y famosos:


¿Pero cómo se viajaría al pasado en el escenario dinámico? A diferencia del escenario estático, el bucle temporal no 'existiría desde siempre', sino que habría que crearlo de alguna manera.

La idea más común, aprovechando las posibilidades de las ecuaciones de la Relatividad General, que explican cómo el espacio-tiempo se curva con la gravedad, es crear un túnel o agujero de gusano que conecta dos puntos separados en el tiempo y el espacio.


Se han propuesto diferentes mecanismos para crear estos puentes. La idea es partir de una 'rotura' del tejido del espacio-tiempo, bien aprovechando un agujero negro existente o bien creando uno desde cero, o bien ampliando de alguna forma los agujeros de gusano microscópicos que se producirían por fluctuación cuántica en el espacio vacío.

En el libro El Universo Elegante, y en el siguiente documental, Brian Greene comenta estas posibilidades:


En la práctica los desafíos para construir verdaderas máquinas del tiempo serían grandísimos. Seguramente no es algo que podamos hacer en el garaje de casa, como en la película Primer o la novela de Wells, sino que más bien se parecería al aparato de Contacto, utilizado para crear un túnel por el espacio-tiempo:


Hay otras dificultades del 'teletransporte en el tiempo' que se suelen obviar. Una es el ajuste de la posición de destino (el planeta Tierra se mueve a gran velocidad por el espacio, al igual que todo el Sistema Solar, la Vía Láctea, etc.), ¿cómo 'apuntar' la mira de la máquina? Otra dificultad es la de materializar al viajero en el universo de destino, donde ya existe materia (aunque sea aire).

Por estas razones, además de por otras más teóricas, es razonable suponer que sería necesario un sistema receptor capaz de comunicarse con el emisor para resolver estos problemas.

En todo caso, en otra entrada posterior hablaremos de las propuestas 'prácticas' para construir máquinas del tiempo, aunque os dejo aquí un avance en primicia del prototipo desarrollado por unos científicos 'gespañoles':


Múltiples líneas temporales


Como vimos al hablar de la naturaleza del tiempo, se ha introducido teóricamente la idea de que pueden existir universos paralelos al nuestro donde se dan otras alternativas a los sucesos que nosotros experimentamos.

Mediante esta idea del Multiverso o universos alternativos se salva de forma elegante la paradoja del abuelo y otras paradojas similares del viaje al pasado. Si volvemos atrás en el tiempo y matamos a nuestro abuelo, lo que hacemos es crear o saltar a otro universo alternativo en el que las consecuencias de ese acto crearán un futuro diferente al de nuestra partida. No hay conflicto porque se trata de universos (líneas de tiempo) diferentes.

Esta mecánica ha sido muy explotada en historias, películas y series. El problema que tiene desde el punto de vista narrativo es que la creación de múltiples líneas temporales lleva a una gran dificultad para seguir la historia, como puede verse en el siguiente gráfico que muestra las líneas temporales en la serie Héroes.


Aquí tenéis un intento de organizar las diferentes líneas temporales alternativas que se van creando con los sucesivos saltos y cambios en la saga de Terminator (conclusión: la consistencia lógica les importa poco a los productores):


Y ésta corresponde a la película Looper, que también explora las paradojas del viaje en el tiempo, con un protagonista que se encuentra consigo mismo:


Como comentamos en la entrada anterior, si concebimos el tiempo normal como una dimensión en el espacio-tiempo de la Relatividad, podemos pensar en los universos de posibilidades alternativas como situados en una segunda dimensión de tiempo, en la que también podríamos viajar.

Phiip K. Dick, del que he hablado en otras ocasiones, explora en diferentes novelas el concepto de universo alternativo. Una de las más interesantes le valió el Premio Hugo, El Hombre en el Castillo. En ella se describe un mundo alternativo en el que Alemania y Japón ganan la segunda guerra mundial, pero circula clandestinamente una novela en la que se describe un mundo ficticio (para ellos) en el que los Aliados ganan la guerra. Una perfecta simetría en la segunda dimensión del tiempo.


En Aguardando el Año Pasado, que será pronto adaptada al cine, Dick explora la posibilidad de que una droga permita viajar en el tiempo, abriendo la caja de Pandora de las paradojas temporales, por supuesto.


Otro de mis autores favoritos de ciencia-ficción, que ha explorado la idea de los universos alternativos situando a sus personajes como habitantes de diferentes líneas de tiempo, es Robert A. Heinlein

Aunque Heinlein había explorado argumentos de viaje en el tiempo en novelas anteriores, como la excelente Puerta al Verano, es a partir de una de sus crisis de salud cuando escribe Tiempo para Amar, donde aborda sin contemplaciones las paradojas del viaje en el tiempo y utiliza el concepto de universo alternativo para dar rienda suelta a sus fantasías entre lo libertario y el libertinaje sexual más desinhibido que uno pueda encontrar en ciencia-ficción (o en cualquier otro género).

En esta novela, Lazarus Long, personaje de legendaria edad por ser resultado de un programa de reproducción entre familias especialmente longevas, aprovecha la reciente invención del viaje en el tiempo para acudir al rescate en el pasado de su propia madre, de la cual se enamora y lleva al futuro en un entorno bastante permisivo en el cual hasta las computadoras se encarnan en bellas mujeres.


Sin embargo, es a partir de El Número de la Bestia, su siguiente novela, donde Heinlein desarrolla totalmente las implicaciones del viaje en el tiempo y su libertad narrativa se extiende más allá de los límites conocidos, con el peligro de perder a los lectores en el camino, pero con alucinantes recompensas para los que sigan el juego al maestro.

En esta novela Heinlein expone una teoría muy particular: el solipsismo multi-personal panteísta universal. El primer concepto de la teoría es que el tiempo tiene tres dimensiones. Por esta razón hay un número total de seis dimensiones, y resulta un número de universos posibles igual a seis elevado a seis elevado a seis = el número de la bestia en interpretación heinleniana.


La primera dimensión del tiempo es la habitual. La segunda es la de las posibilidades alternativas para un universo dado. Y en la tercera dimensión se sitúan los universos imaginados por los habitantes de los otros universos. Por ejemplo, en El Número de la Bestia los viajeros espacio-temporales visitan algunos de sus favoritos en esta tercera dimensión: el mundo de Oz, el mundo de Alicia en el Pais de las Maravillas y un planeta Marte habitado, similar al Barsoom de Una Princesa de Marte (llevado al cine en la película John Carter).

Lo interesante de la idea es que todos los universos son igualmente reales, y por lo tanto cada línea de tiempo es imaginada por seres de otros universos en la tercera dimensión. Nuestro universo 'real' sería también producto de la imaginación de seres que viven en otros universos. Nosotros seríamos personajes de novela o película en historias imaginadas y contadas en otros universos.

Heinlein desarrolla de manera personal esta idea, juntando en sus últimas novelas a seres reales e imaginarios, y a sus propios personajes traídos desde diferentes mundos en los que son perfectamente reales. Todos ellos se unen en la noble causa de enderezar líneas de tiempo, sobrevivir los ataques de las fuerzas malignas y entregarse a una peculiar vida familiar.



El viaje en el tiempo en el cine y la televisión


Además de las adaptaciones de la Maquina del Tiempo, hay muchas películas recientes que utilizan el viaje en el tiempo, unas con una perspectiva de 'ciencia-ficción' y otras buscando efectos dramáticos y románticos interesantes.

En el capítulo 'ciencia-ficción' tenemos la mencionada Primer, solo apta para frikis masoquistas, la saga Terminator, Doce Monos (excelente), Looper (no la he visto todavía), y una posible adaptación cinematográfica de Esperando el Año Pasado, de Philip K. Dick, donde se viaja en el tiempo mediante una peligrosa droga.

Pero seguramente la película sobre viaje en el tiempo que marcó toda mi generación fue Regreso Al Futuro, que utiliza precisamente algunos elementos de las novelas de Heinlein.





Por otro lado, el aspecto romántico de los viajes en el tiempo es explorado en En Algún Lugar del Tiempo, con un Christopher Reeve en plena forma, y en La Casa del Lago, con Keanu Reeves y Sandra Bullock.



Otra película con tintes románticos y de drama familiar donde intervienen los viajes en el tiempo es Una Cuestión de Tiempo.La lógica de los viajes no tiene mucha lógica, como suele pasar. El personaje vuelve atrás ocupando el mismo cuerpo que tiene en el viaje de destino, pero apareciendo en otro lugar y con sus recuerdos del futuro. Pero la historia es divertida y tiene sus tintes filosófico-Nietzschianos.


Como guía para los que queráis explorar diferentes tratamientos del tema en el cine, o componer vuestra propia historia, tenéis este excelente diagrama de flujo donde se clasifican las diferentes opciones, con ejemplos clásicos de cada tipo:


Y aquí otra bonita infografía que muestra las películas clave en secuencia temporal:


En televisión por supuesto el tema del viaje en el tiempo aparece recurrentemente. Entre los clásicos tenemos las aventuras infantiles, pero muy entretenidas, de Doraemon: el gato-robot que viene del futuro para cuidar del inepto niño Nobita con sus inventos, que incluyen una máquina del tiempo y otros francamente interesantes:



Y por supuesto tenemos al Señor del Tiempo en persona, Dr. Who, que viaja por el espacio y el tiempo en su TARDIS, de aspecto más bien sobrio por fuera, pero fantástica por dentro.



No es de extrañar que con tanto viajero temporal se produzcan algunos problemas:



Pues esto es todo por hoy. Si os interesa el tema de la relatividad, los viajes en el tiempo y su presencia en el cine, os recomiendo la excelente conferencia que Andrés Aragoneses dio en la pasada Hispacon.


Hasta pronto,

   Salvador




lunes, 27 de enero de 2014

Las paradojas de la razón autorreferente (2/2): Gödel, Turing, Wittgenstein.

¿Es la aritmética consistente y completa?


En la primera parte de esta entrada vimos que el eminente matemático David Hilbert plantea a principios del siglo XX dos cuestiones fundamentales cuya respuesta era necesaria para cumplir su programa de fundamentar las matemáticas sobre una segura base formal.

El objetivo de la comunidad matemática era (y aún lo es) crear sistemas axiomático-deductivos con los que pudieran demostrarse en forma de teoremas todas las fórmulas o enunciados verdaderos expresables en el sistema (completitud) y además no pudieran generarse falsedades (consistencia). También, idealmente, debería haber un método mecánico o determinista para decidir si cualquier fórmula es verdadera o no (decibilidad).



  • Hilbert plantea en 1900 que es necesario probar la consistencia de los axiomas de la Aritmética, es decir, que no se pueda deducir mediante reglas lógicas ninguna contradicción a partir de los axiomas referidos a los números naturales y las operaciones de suma y multiplicación.
  • Posteriormente, en 1928, Hilbert y Wilhelm Ackermann añaden el llamado problema de la decisión: encontrar un proceso formal (un algoritmo) que de forma mecánica pueda decidir si una fórmula o enunciado es verdadero (demostrable) o no lo es. En realidad este problema tiene a su vez dos partes:
    • Primero, habría que probar que el sistema axiomático es completo (que permite decidir si cualquier fórmula o enunciado con sentido es verdadero o falso)
    • Segundo, habría que encontrar el algoritmo o proceso mecánico para tomar esta decisión. Como pasos hacia este objetivo, en 1936 Alonzo Church formalizó el concepto de algoritmo en forma funcional con su cálculo lambda y Alan Turing en forma computacional con la máquina de Turing.

Veremos que debido precisamente a la autorreferencia de los sistemas de razonamiento formal que vimos en la entrada anterior, la respuesta a estos problemas es negativa. La aritmética y todos los sistemas formales y computacionales que incluyen a la aritmética no son completos ni decidibles, y tampoco se puede probar que sean consistentes.


Gödel demuestra la incompletitud de la Aritmética y la indemostrabilidad de su consistencia


El primer paso para mostrar las limitaciones de la formalización de la matemática (y los programas de fundamentación lógica de Rusell y los positivistas lógicos) fueron los llamados Teoremas de Incompletitud que el joven matemático Kurt Gödel publicó en 1931 con el título "Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados".



El primer teorema afirma que:

Cualquier teoría aritmética recursiva que sea consistente es incompleta

Es decir, una teoría que incluya a la aritmética, no puede ser a la vez consistente y completa.




La elegancia en la demostración de Gödel y su impacto rompiendo la estructura monolítica de la lógica clásica se ha comparado muchas veces a la de la Teoría de la Relatividad de Einstein. Por cierto que Einstein y Gödel se hicieron muy amigos cuando ambos se encontraron trabajando en la universidad de Princeton tras huir de una Europa amenazada por la Alemania nazi.


Vayamos a la maravillosa demostración de Gödel, que es en realidad sencilla de comprender a partir de la paradoja del mentiroso que vimos en la entrada anterior. La idea es sencilla de entender, pero los detalles requieren un poco de atención  :-)  Si os perdéis, al menos podéis ver este interesante vídeo:


Primero, Gödel muestra cómo las teorías formales de la aritmética son recursivas, es decir, autorreferentes. Veámoslo:

  • Las variables utilizadas en las fórmulas o enunciados de la aritmética se refieren a números naturales (0, 1, 2...), por ejemplo, a, b y c representan números cualquiera en esta fórmula:

  • Los símbolos que aparecen en las fórmulas, incluyendo las variables, operadores matemáticos (suma, multiplicación) y los símbolo lógicos (igualdad, implicaciones, cuantificadores), se pueden también representar como números, llamados códigos o números Gödel, y todos los códigos que aparecen en una fórmula se pueden combinar para representarla como un único número, utilizándolos como exponentes de los sucesivos números primos y luego multiplicándolos. Este proceso se llama numeración de Gödelgodelización y podéis comprobarlo en esta aplicación.

Lo importante es que a cada posible fórmula de la aritmética le corresponde un número único que representa unívocamente esa fórmula.
  • Como conclusión de los anteriores puntos, los números referidos por las variables que aparecen en una fórmula (a,b, x, y...) pueden ser los códigos de otras fórmulas, y por tanto, las fórmulas de la aritmética pueden expresar enunciados sobre sí mismas: tienen la capacidad de ser autorreferentes.

En el segundo paso, Gödel construye un enunciado que representa el hecho de que una fórmula x es derivable (demostrable) en el sistema axiomático. Es posible construir este enunciado porque cada operación de derivación en el sistema formal de la aritmética se puede ver como una combinación de operaciones aritméticas sobre los códigos Gödel de las fórmulas.

D(x)   :   la fórmula x es demostrable

Por otra parte, supongamos que una fórmula f usa una variable y, e imaginemos el proceso de sustituir y en la fórmula f por el número Gödel de f. Podemos definir una fórmula o función que representa esta operación, que llamaremos AutoGodelización:

x = AutoGodel(f)  :  x es la fórmula que resulta al sustituir en la fórmula f la variable y por el propio código de f

En el último paso, utilizaremos estos enunciados aritméticos para construir una fórmula que afirma de sí misma que no es demostrable (fórmula G). Es un claro paralelismo con la paradoja del mentiroso, pues G utiliza una combinación de autorreferencia y negación. Vemos cómo se hace. Primero construimos esta fórmula:

Fórmula g   :   no es cierto que (D(x) y además x = AutoGodel(y))
(no es cierto que x sea demostrable y al mismo tiempo sea la AutoGodelizacion de y)

Ahora creamos la AutoGodelización de la fórmula g, sustituyendo y por el código numérico que corresponde a la fórmula (llamamos g a este número, para abreviar) y llamaremos G a la fórmula resultante de la sustitución:  G = AutoGodel(g). Por tanto, al cambiar y por g resulta:

Fórmula G = AutoGodel(g)  ==>   no es cierto que (D(x) y además x = AutoGodel(g))

Como hemos definido G = AutoGodel(g), es obvio que x es igual a G en la parte derecha de la fórmula, y es por esta razón por la cual la fórmula G habla de sí misma:

Fórmula G   :   no es cierto que (D(G) y además G = AutoGodel(g))

Como la segunda parte es obviamente cierta por la definición de G, lo que la fórmula G dice en realidad es:

Fórmula G    :    no es cierto que D(G)

Dicho de otra manera:

Fórmula G:  "La fórmula G no es demostrable"

Ahora pensemos, ¿es la fórmula G verdadera o falsa?

  • Si la suponemos verdadera entonces, según ella afirma, no es demostrable. Como consecuencia, el sistema de la aritmética sería incompleto, incapaz de demostrar una fórmula que es verdadera.
  • Si la suponemos falsa entonces lo contrario sería cierto: la formula G sería demostrable. Pero esto implicaría que el sistema de la aritmética es inconsistente, pues permite demostrar una fórmula falsa.
De donde se sigue que o bien el sistema de la aritmética es incompleto (si G se considera verdadera) o bien inconsistente (si G se considera falsa). 

Lo cierto es que Gödel consigue demostrar que G es verdadera. Por la forma en que se ha construido como negación de todas las posibles derivaciones, Gödel y cualquier humano que siga la demostración sabe que G no se deriva de los axiomas de la aritmética, pero ella misma afirma que no es demostrable dentro del sistema. Esto tiene la profunda implicación de que existen verdades expresables en las teorías que incluyen a la aritmética (enunciados que podemos ver que son verdaderos) que las mismas teorías no pueden demostrar.



En su segundo teorema, Gödel demuestra que la fórmula G es verdadera si y solo si la fórmula A: "El sistema de la aritmética es consistente" es verdadera. Como consecuencia, tampoco esta fórmula A es demostrable, y por tanto la consistencia de la aritmética no es demostrable, aunque sea verdadera.
La conclusión es que desde dentro de un sistema de razonamiento formal podemos hacer muchas cosas, pero no podemos ni demostrar todas las verdades posibles (aunque sean expresables en nuestro sistema), ni tampoco demostrar que nuestro sistema no va a generar falsedades, aunque es posible que desde fuera del sistema podamos demostrarlo.
Esta conclusión ha sido utilizada por Roger Penrose y otros autores para argumentar que la mente humana es superior a cualquier ordenador o sistema computacional que pudiera construirse. Sin embargo, otros autores como Douglas Hofstadter han mostrado la falacia de esta interpretación (ver el libro "Gödel, Escher, Bach" más abajo): tanto la mente humana como los 'sistemas algorítmicos' pueden razonar sin estar limitados a trabajar dentro de un sistema formal.

El problema de la decisión: Church y Turing


Tras los teoremas de Gödel en 1931, el mundo de la lógica y la matemática se quedaron en choque. Los objetivos de Hilbert de demostrar la consistencia y la completitud de la aritmética (la más simple de las teorías matemáticas) se revelaron imposibles y se puso en cuestión la firmeza de los sistemas formales como sustento del conocimiento, un factor decisivo en el abandono del programa del positivismo lógico, y el impulso para que nacieran otras concepciones del lenguaje y la epistemología (como veremos más abajo, con el segundo Wittgenstein).

Mientras tanto, aún quedaba por resolver otra de las preguntas de Hilbert, el problema de la decisión. ¿Sería posible desarrollar un método mecánico o algoritmo para saber si una fórmula de la aritmética es demostrable o no? ¿Qué pasaría si existiera un sistema de decisión así y se le pidiera determinar la demostrabilidad de la fórmula de Gödel?

Para resolver el problema de la decisión había primero que desarrollar un modelo formal de un 'método mecánico o algoritmo'. El primero en hacerlo fue Alonzo Church con su cálculo lambda, basado en la definición de funciones recursivas. Los que seáis programadores ya sabéis lo que son, y los que no... pues tendrías que estudiarlo, y esta es la razón de que los trabajos de Church no sean hoy muy conocidos comparados con los de Turing.


La prueba de indecibilidad de Church es muy similar a la de Gödel. Church construye una función recursiva que al aceptar como entrada un código numérico que la representa a ella misma genera una contradicción.

Poco después, el matemático inglés Alan Turing crea en su tesis doctoral otro modelo formal de computabilidad, la máquina de Turing, y demuestra que el problema de decisión es equivalente al problema de si existe o no una máquina de Turing capaz de determinar si una máquina cualquiera se detendrá o no al presentársele una entrada de datos: es el llamado problema de la parada.




Nadie mejor que el propio Turing para explicarlo (en realidad se trata del personaje de Turing en el docudrama de la BBC Breaking the code):




El video que sigue explica perfectamente (y de manera divertida) como Turing demuestra que el problema de la parada no es resoluble. NO OS LO PERDAIS. Si los subtítulos no se activan solos, pulsad el botón CC y seleccionar la opción de traducción al español:


Poco después de las demostraciones de indecibilidad de Church y Turing, se hizo evidente que sus dos modelos de computabilidad eran equivalentes. Ambos pueden representar cualquier algoritmo. Esta afirmación, la llamada Tesis de Church-Turing, es indemostrable, pero nadie ha encontrado un contraejemplo: un proceso que sea calculable pero que no pueda realizar una máquina de Turing o una función lambda.

Por tanto, vemos que la capacidad de estos instrumentos formales para trabajar con representaciones de sí mismos les lleva a la imposibilidad de decidir la verdad o falsedad de ciertas cuestiones.

El lenguaje y lo que hay más allá: Wittgenstein


La vida y obra de Ludwig Wittgenstein merece seguramente varias películas y un blog dedicado a él solo. Confieso que se trata de mi filósofo favorito, tanto por lo dramático de su vida como por lo original y profundo de su pensamiento.


Wittgenstein abandonó a su rica familia vienesa (que le desheredó) y se marchó a estudiar aeronáutica a Inglaterra, donde le atrajo más el desarrollo de la lógica y los fundamentos de la matemática que Bertrand Russell (de quien hablamos en la entrada anterior) llevaba a cabo en Cambridge. Así que se convirtió en estudiante de Rusell, o más bien en un colega advenedizo que pasaba horas discutiendo con él y cuestionando las conclusiones y el programa de su supuesto mentor.

En un principio los objetivos de Wittgenstein parecían coincidir con los de Rusell y los positivistas lógicos del Círculo de Viena, incluso iban más allá de lo que éstos planteaban.

Wittgenstein no sólo quería fundamentar lógicamente las matemáticas, sino el lenguaje mismo, y dado que según pensaba el lenguaje determinaba la forma en que podemos pensar la realidad, estaría fundamentando así también la ontología y el conocimiento del propio mundo.


Sus ideas estaban relacionadas con las de Immanuel Kant (ver la primera parte de la entrada), solo que en lugar de ser las categorías kantianas de espacio, tiempo y causalidad las que determinan la realidad que podemos pensar con sentido, para Wittgenstein es la forma lógica del lenguaje la que define qué se puede comprender y expresar acerca de la realidad.


Wittgenstein desarrolla esta teoría en uno de los libros más fascinantes que existen, el Tractatus Logico-Philosophicus, donde en cortas sentencias numeradas, el filósofo mezcla los fundamentos de la Lógica (Wittgenstein desarrolló el método de las tablas de verdad y contribuyó la clarificar la lógica de predicados) con un intento de delimitar lo que se puede conocer con sentido. En apariencia, sería un programa similar al del positivismo lógico.


Pero aunque utiliza herramientas lógicas similares a Rusell y los positivistas, las intenciones de Wittgenstein son totalmente diferentes. Quiere mostrar que lo verdaderamente importante (la ética, la estética, la metafísica, el sentido del mundo, nuestros problemas vitales), lo que él denomina lo 'místico', es inalcanzable en el marco de la lógica, de la ciencia y del lenguaje. No puede 'decirse' con sentido, solo puede 'mostrarse'.


Vale la pena incluir aquí algunas de las proposiciones finales del Tractatus (podéis encontrar el texto completo aquí):

6.41 El sentido del mundo tiene que residir fuera de él. En el mundo todo es como es y todo sucede como sucede; en él no hay valor alguno, y si lo hubiera carecería de valor. 
 Si hay un valor que tenga valor ha de residir fuera de todo suceder y ser-así. Porque todo suceder y ser-así son causales. 
...
6.421 Está claro que la ética no resulta expresable. La ética es trascendental. (Etica y estética son una y la misma cosa.) 
...
6.521 La solución del problema de la vida se nota en la desaparición de ese problema. (¿No es ésta la razón por la que personas que tras largas dudas llegaron a ver claro el sentido de la vida, no pudieran decir, entonces, en qué consistía tal sentido?) 
...
6.522 Lo inexpresable, ciertamente, existe. Se muestra, es lo místico. 

Wittgenstein coincide con las tradiciones místicas y la filosofía oriental en la conclusión de que el enigma de las cuestiones últimas no puede resolverse ni explicarse con el lenguaje, y tiene que ver más con la liberación de las ataduras del propio lenguaje.



Wittgenstein también aborda desde esta perspectiva la duda de Kant sobre las ideas como el infinito, la eternidad, el Alma, el Mundo y Dios, y llega a una conclusión similar: estas ideas se sitúan más allá del lenguaje, están fuera del ámbito de lo que se puede decir con sentido.

6.45 La visión del mundo sub specie aeterni es su visión como-todo-limitado. El sentimiento del mundo como todo limitado es lo místico. 

Lo más fascinante para mí del Tractatus es que, aunque fue publicado en 1921, 10 años antes de la demostración de Gödel, el mismo libro se convierte en una gigantesca fórmula de Gödel que se niega a sí misma.

Wittgenstein se da cuenta de la que la filosofía no puede decir nada con sentido, pues trata de ideas que no tienen un significado dado por los hechos o la lógica.

Por tanto, el propio Tractatus se niega a sí mismo. Lo que el libro dice debe ser desechado después de leerlo, y lo único que queda a Wittgenstein es callarse, pues lo que hay más allá del lenguaje solo puede mostrarse. 

6.53 El método correcto de la filosofía sería propiamente éste: no decir nada más que lo que se puede decir, o sea, proposiciones de la ciencia natural - o sea, algo que nada tiene que ver con la filosofía ...

6.54 Mis proposiciones esclarecen porque quien me entiende las reconoce al final como absurdas, cuando a través de ellas -sobre ellas- ha salido fuera de ellas. (Tiene, por así decirlo, que arrojar la escalera después de haber subido por ella.) Tiene que superar estas proposiciones; entonces ve correctamente el mundo. 

7 De lo que no se puede hablar hay que callar. 


Debe ser el único caso de la historia en que un filósofo ha llegado a la conclusión de que debe callarse  :-)  Y la realidad es que Wittgenstein fue coherente con su diagnóstico y dejó la filosofía durante muchos años, hasta que se dio cuenta de que estaba equivocado (y muriéndose de hambre).

Obsérvese el paralelismo con los teoremas de Gödel, Church y Turing. El Tractatus es como la fórmula G: podemos reconocer que lo que dice es cierto, que realmente muestra que el lenguaje 'con sentido' tiene límites. Sin embargo, precisamente por estar construido con lenguaje (como la fórmula G está construida con un sistema formal), no tiene sentido él mismo. Otra paradoja de la razón autorreferente.

Si os interesa aprender algo más sobre Wittgenstein, os recomiendo este episodio de La Aventura del Pensamiento donde Fernando Savater explica la filosofía de este autor. Concretamente, a partir del minuto 9 habla del Tractatus, y en el minuto 11 de los ímites de lo decible:



En una fase posterior de su vida, Wittgenstein cambia su concepto del lenguaje, y lo basa no en la lógica formal, sino en las reglas que los mismos hablantes definen (implícitamente) y que pueden dar lugar a diferentes usos igualmente válidos. Como en diferentes 'juegos', no hay unos lenguajes más verdaderos que otros: cada uno es válido si sirve a los propósitos de los jugadores, si sigue sus reglas internas.

Aquí tenemos al mismo Wittgenstein explicándolo, en la película de Derek Jarman que lleva su nombre:



Para más diversión...


Varias ilustraciones de la primera y segunda parte de esta entrada están sacadas del maravilloso comic Logicomix, que relata de forma entretenida (con las pequeñas licencias dramáticas necesarias) la historia de Rusell, Gödel, Church, Turing y Wittgenstein en su implacable búsqueda de la verdad sobre los fundamentos de la lógica y las matemáticas.



También he utilizado ideas y adaptado la demostración del teorema de Gödel de uno de mis libros favoritos: Gödel, Escher, Bach: un Eterno y Grácil Bucle, con el que el matemático, filósofo y divulgador científico Douglas Hofstadter obtuvo el Premio Pulitzer. Se trata de uno de los libros que, a pesar de su volumen, se pueden disfrutar más por su humor, originalidad y profundidad.

Además, ¡averigüé hace poco que el mismo Philip K. Dick lo había leído y disfrutado él mismo!

La siguiente fotografía se parece bastante al estado de mi copia de esta joya, tras varias lecturas y mudanzas por el mundo:



Os dejo en buenas manos, hasta la próxima.

    Salvador