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sábado, 5 de octubre de 2013

Una calculadora para viajes interestelares:

  Un dilema de los escritores de ciencia-ficción


   Cuando un escritor se plantea escribir una historia con viajes interestelares a gran velocidad, se enfrenta a un dilema:

  • Basarse en la teoría de la relatividad de Einstein, la descripción más exacta y verificada de que disponemos sobre la estructura del espacio-tiempo y los efectos del movimiento a gran velocidad. La velocidad del viaje puede y debe ser grande (para que no dure una barbaridad de tiempo), pero no puede superar a la velocidad de la luz.




La relatividad general permite la deformación del espacio debida a la gravedad, por lo que en principio podrían ser posibles mecanismos de este tipo. Sin embargo, aunque fuera posible saltar a otro lugar del espacio-tiempo, aún deberíamos afrontar el hecho de que el tiempo transcurrido para los viajeros sería muy diferente al que habría transcurrido para los habitantes cercanos al lugar de salida y llegada. Este problema se suele ignorar totalmente, asumiendo que existe un concepto de simultaneidad temporal válido para todos los lugares a la vez, algo que la relatividad especial demuestra que es falso.



En esta entrada intentaré explicar de una manera sencilla hasta dónde puede llegarse con la primera opción, respetando la Teoría de la Relatividad, y os daré una herramienta para calcular correctamente el efecto temporal de los viajes interestelares a gran velocidad, ilustrados típicamente con la paradoja de los gemelos.


   Espacio-tiempo en la Teoría de la Relatividad


Para entender la Teoría de la Relatividad el tiempo debe considerarse como una cuarta dimensión muy similar a las tres dimensiones habituales del espacio. Cualquier evento está definido por 4 dimensiones: las 3 de posición-espacio + 1 dimensión de tiempo.

Desde este punto de vista, la enseñanza esencial de la Teoría de la Relatividad es que la distancia en el espacio (tamaño, separación) puede cambiar según el punto de vista del observador, y la distancia en el tiempo (duración) también puede hacerlo. Tanto espacio como tiempo son relativos vistos por separado, pero sin embargo la distancia entre dos eventos medida en las cuatro dimensiones del espacio-tiempo es constante e independiente del observador: es absoluta.

Si representamos el espacio con sólo 2 dimensiones, y añadimos el tiempo como tercera dimensión vertical, tenemos una figura como la siguiente. Para un observador situado en un cierto punto, toda la información que puede llegarle del pasado cae dentro de un cono cuyo vértice termina en él (cono del pasado). La razón es que los puntos situados fuera del cono tendrían que haber emitido una señal que hubiera viajado más rápido que la luz para poder haber influido de alguna manera en el observador situado en el presente.

De la misma forma, desde el momento y posición actual del observador podemos enviar información y causar cambios en el futuro solamente a aquellos eventos situados dentro del 'cono del futuro'. Para llegar a puntos del espacio-tiempo fuera de este cono tendríamos que enviar señales u objetos que fueran más rápidos que la luz.

Si utilizamos como unidades de distancia-espacio los años-luz (distancia recorrida por la luz en un año) y el año como unidad de tiempo, entonces los conos de luz tienen exactamente 90 grados de amplitud.
 


   Modificación del tamaño y la duración al cambiar el sistema de referencia


La cosa se complica en la Teoría de la Relatividad porque la visión del espacio-tiempo de 4 dimensiones cambia para otro observador que se mueve a una velocidad diferente.

Para explicar cómo sucede esto voy a recurrir primero a una analogía, y luego veremos la solución correcta.

Suponiendo una sola dimensión de espacio, la parte izquierda del siguiente diagrama espacio-tiempo mostraría un objeto en reposo (una barra rígida de longitud L) que emite cierta señal (p.ej. cambia de color) cada cierto tiempo T. Vemos que la barra se convierte en una cinta alargada en la dirección del tiempo.

En el mundo tridimensional podemos ver una perspectiva girada de un objeto al ponernos en otro punto de vista. En una vista girada, la anchura y profundidad que vemos del objeto serían diferentes a las originales. Esto se llama un cambio del sistema de referencia. También en el mundo de 4 dimensiones podemos tener otras perspectivas de un mismo objeto espacio-temporal desde diferentes sistemas de referencia. Por ejemplo, en la parte derecha de la figura vemos lo que pasa si giramos en el espacio-tiempo la cinta que representaba a la barra en reposo.


En este caso, al cambiar de sistema de referencia, la anchura horizontal de la cinta (tamaño del objeto que vemos en la dimensión espacio = L') se ha hecho mayor que la original L. Nos parecería que la barra se ha estirado o dilatado. Por otra parte, vemos que la separación en el tiempo (T') entre los cambios de color de la barra sería ahora menor que la separación original T. Nos parecería que el tiempo se ha contraído para la barra, o sea, que pasa más rápido para ella que antes del giro. 

Recordemos que esto es sólo una analogía. ¡El efecto real debido a las altas velocidades va a ser justo el contrario!

También podemos observar en la figura que al transformar de sistema de referencia con un giro, el cambio de color de la barra ya no se produce al mismo tiempo para todos los puntos de la barra, es decir, la transformación también ha cambiado la simultaneidad del tiempo.


El verdadero efecto de la velocidad: la transformación de Lorentz-Fitzgerald


Einstein partió de dos postulados en la Relatividad Especial: 1. La velocidad de la luz debe ser la misma para todos los observadores, y 2. Un observador no puede notar ningún cambio en las leyes de la física sea cual sea la velocidad constante a la que se mueve (un principio que ya había enunciado Galileo). Einstein descubrió que la única manera de que se cumplieran estos principios era que cuando un observador se mueve a cierta velocidad, cambia su sistema de referencia en el espacio-tiempo, lo cual tiene sentido, puesto que la velocidad no es más que la relación entre el espacio y el tiempo.

Este cambio de referencia no es un giro como el que hemos visto en la analogía anterior, sino una especie de sesgo simétrico hacia la línea de movimiento de la luz (que son líneas diagonales a +/- 45 grados en los diagramas espacio-tiempo). Se trata de una operación sencilla de calcular que se llama transformación de Lorentz-Fitzgerald.


Por ejemplo, las siguiente figuras muestra cómo cambian realmente los ejes de espacio (d') y tiempo (t') respecto a los originales (d, t) cuando el observador se mueve a una velocidad que es un tercio la de la luz (izquierda/arriba) y a dos tercios (derecha/abajo), aproximándose progresivamente a las líneas amarillas de velocidad máxima (la de la luz):



Al igual que hemos visto para la rotación, la distancia espacial (d/d') y temporal (t, t') entre dos eventos (punto rojo y punto verde) cambia para un observador que se mueve relativamente a ellos (podéis probarlo en ésta página):


Por tanto, ¿qué sucede cuando nos movemos respecto a un objeto, según la transformación de L-F, comprobada experimentalmente?
  • Cuando más grande sea la velocidad relativa, veremos que el tamaño del objeto se contrae más en la dirección de movimiento. En el límite de la velocidad de la luz, el tamaño observado del objeto se haría cero. Aquí tenéis una descripción detallada.
  • Cuando más grande sea la velocidad relativa, veremos que el tiempo se dilata más para el objeto, es decir, que el tiempo transcurre más lentamente para él. En el límite de la velocidad de la luz, el tiempo observado se detendría.



Al igual que las rotaciones, la transformación L-F tiene una importante propiedad, que es reversible y simétrica. Nosotros vemos que el tiempo se dilata y el tamaño se contrae en la dirección de movimiento para un colega que pasa junto a la Tierra en una nave espacial a una velocidad constante, y él ve exactamente el mismo efecto en nosotros.


Viajando con aceleración: la paradoja de los gemelos


Sigamos explorando qué pasa con dos hermanos gemelos, uno que está en la Tierra y otro que viaja por el espacio con una nave capaz de alcanzar grandes velocidades. El efecto de la transformación de Lorentz-Fitzgerald es totalmente simétrico mientras la velocidad relativa sea constante (la Tierra está aproximadamente fija, y la velocidad relativa sería la de la nave espacial). Por tanto, mientras se mantenga la misma velocidad (y la misma dirección de movimiento), cada gemelo verá lo mismo: que el otro envejece más lentamente.

Sin embargo, con una velocidad de separación y dirección constante no es posible que los gemelos se vuelvan a encontrar. Para que esto suceda, uno de ellos (el de la nave) tiene que cambiar de velocidad para volver a la Tierra. Además, si la nave saliera de la Tierra, tendría que acelerar para alcanzar su velocidad máxima, y luego decelerar para volver a detenerse a su regreso. Es decir, el gemelo viajero sufriría aceleraciones (cambiaría su sistema de referencia para la transformación de L-F), mientras que el que se queda en la Tierra no aceleraría. 

Alguien puede objetar que la aceleración también sería simétrica: si A está acelerado respecto a B, B también lo está respecto a A. Bien, pues esta es precisamente la clave: así como las leyes de la física son invariantes respecto a la velocidad constante, no lo son respecto a la aceleración, y al haber aceleración se rompe la simetría entre los dos observadores. Entonces, ¿quién envejece más, el que se ha quedado en la Tierra o el que se marchó en la nave?


Pues el que sufre la aceleración, es decir, el gemelo de la nave sufre una dilatación real del tiempo respecto al gemelo de la Tierra, que envejece más rápidamente que el viajero.



En este video podéis ver una divertida versión animada de la paradoja de los gemelos:


Y en este otro video tenéis la explicación técnica de la paradoja. También hay una discusión detallada con gráficos aquí.



Quizás la aplicación más conocida de la paradoja de los gemelos es la historia de El Planeta de los Simios, en la que unos astronautas en hibernación regresan a la Tierra habiendo pasado unos 2.000 años en el marco de referencia del planeta (lo que ha dado tiempo a que los simios hayan creado su propia civilización):




Calculadora para viajes interestelares


A todos los efectos, la paradoja de los gemelos se produce de la misma manera si, en lugar de volver a la Tierra, el gemelo de la nave espacial termina su viaje en otro sistema solar. Al frenar en su destino, el viajero vuelve al mismo marco de referencia de la Tierra, ya que la velocidad relativa entre la Tierra y el otro sistema solar es pequeña, y por tanto desde su punto de vista el astronauta ha viajado 'hacia el futuro'.

Debido a este efecto relativista, el viajero puede recorrer enormes distancias por el universo en un tiempo compatible con su propia vida. De hecho, en principio (si tuviera una nave con una fuente de energía adecuada), podría cruzar toda la Vía Láctea o viajar hasta otro grupo de galaxias, o más lejos aún, antes de morir.

Si tuviera una tecnología para comunicarse instantáneamente con la Tierra (rompiendo con la limitación de la velocidad de la luz), el gemelo viajero podría comprobar que su hermano terrestre ha envejecido más que él (o ha envejecido tanto que ha muerto ya).

Por cierto, en ciencia-ficción se da mucho esta situación: mientras se respeta el límite de la velocidad de la luz y se siguen los principios relativistas para la materia (naves, astronautas), en la misma historia se utilizan sistemas de comunicación instantáneos, como el ansible (introducido por Ursula K. LeGuin y utilizado por otros muchos como Orson Scott Card), que violan esta limitación.


A propósito, en esta entrada hablo de la tecnología para los viajes interestelares   :-)




Pero de momento os dejo con una herramienta práctica que podéis utilizar para calcular las duraciones de un viaje interestelar: por un lado, cuánto tiempo transcurre en el planeta origen del viaje (o en el planeta destino), y por otro lado cuánto ha envejecido el viajero espacial que llega hasta el otro planeta.

Aquí podéis ver una simulación gráfica, pero tenéis algo más manejable: una sencilla tabla de cálculo basada en estas fórmulas, en la que podéis indicar la distancia del viaje y la aceleración de la nave (asumiendo que esta aceleración es constante durante todo el viaje, primero para acelerar y luego para frenar). Como resultado obtendréis el tiempo transcurrido en el sistema de referencia de los planetas, el tiempo transcurrido para el viajero, y la máxima velocidad punta alcanzada a mitad del viaje.

Notad como la diferencia de tiempos se va haciendo muy grande a medida que la distancia se agranda.

SI LA HOJA INSERTADA NO ES INTERACTIVA. PODÉIS ACCEDER A LA VERSIÓN INTERACTIVA AQUÍ (debéis iniciar sesión con vuestro usuario de Google).



(1) Aceleración de la nave espacial durante su viaje (1 g es la aceleración equivalente a la fuerza de gravedad en la superficie de la Tierra). Los humanos no pueden soportar aceleraciones de varias g durante un largo tiempo (el peso se multiplica por este número).
(2) Distancia del viaje en años-luz  (la estrella más cercana está a 4.24 años-luz)
(3) Tiempo transcurrido en el sistema no acelerado (planeta de partida o destino)
(4) Tiempo transcurrido para los ocupantes de la nave
(5) Velocidad máxima alcanzada por la nave (1.0 sería la velocidad de la luz)


Bien, escritores de ciencia-ficción, ahora ya no tenéis excusa para ignorar la Teoría de la Relatividad en vuestras historias de viajes interestelares. Al menos, yo estoy intentando seguirla en la segunda parte de la Trilogía de las Esferas  ;-)

Hasta la próxima,

    Salvador


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