¿Por qué existen las cosas?: fermiones, bosones y el misterioso espín

A pesar de la dificultad de su comprensión, la física cuántica llega a explicar muchos misterios básicos de la naturaleza, como el hecho de que existan fuerzas atractivas. Veremos en esta entrada que la cuántica también explica por qué determinadas partículas pueden formar estructuras en el espacio, estructuras que llamamos 'materia'.

La materia que conocemos en cualquiera de sus estados (sólido, líquido, gaseoso y plasma) está formada por átomos (o por iones, que son átomos sin algunos de sus electrones). Las moléculas y las estructuras cristalinas se forman con estos componentes atómicos/iónicos.

Desde antiguo se ha reconocido que la materia tiene una propiedad esencial, no por obvia menos importante: es impenetrable. Dos cuerpos materiales no pueden ocupar el mismo espacio. Las moléculas no se dejan penetrar por otras moléculas, y los átomos, a pesar de estar prácticamente vacíos, no se comprimen como una esponja para ocupar su vacío interno.

Solamente en condiciones extremas de gravedad (en las estrellas de neutrones y agujeros negros), las partículas subatómicas se recombinan para ocupar un espacio mucho más pequeño.

Sin la impenetrabilidad de átomos y moléculas, no tendríamos estructuras sobre las que podríamos existir (estrellas, planetas), ni existiría el agua, la tierra y seres vivos, en definitiva, no existirían las 'cosas' que se pueden ver y tocar: todo lo que tendríamos sería un baño de radiación con partículas que se entrecruzan entre sí sin molestarse, como los rayos de luz que pasan unos a través de otros sin chocar jamás. La vida no sería posible en un universo así, pues no se formaría ninguna estructura capaz de reproducirse.

Pero, ¿cuál es la razón de que las partículas de materia no puedan entrecruzarse igual que la luz? Al fin y al cabo, sabemos hoy que las partículas son ondas igual que la radiación electromagnética. ¿Qué es lo que mantiene separadas las partículas de materia, incluso cuando hay fuerzas que las atraen?

El principio de exclusión de Pauli

A principios del siglo XX, Ernest Rutherford comenzó a desentrañar la estructura atómica, descubriendo que había un núcleo cargado positivamente y una nube de electrones que giraban alrededor. Los electrones, con carga eléctrica negativa, eran atraídos hacia el núcleo positivo por la fuerza electromagnética.

Sin embargo, este modelo atómico planteaba muchos problemas, no explicaba:

• Por qué los electrones no caen hacia el núcleo (según el electromagnetismo clásico, debían perder energía y dejarse arrastrar por la atracción del núcleo positivo)
• Por qué los electrones no se agolpan todos en la misma órbita, sino que se sitúan a distancias muy determinadas, colocándose en capas. Los electrones pueden saltar de una capa a otra emitiendo o absorbiendo la diferencia de energía en forma de fotón (luz)

Niels Bohr modificó el modelo de Rutherford para acomodar estas órbitas fijas de los electrones. Las órbitas se van llenando progresivamente, lo cual explica las propiedades químicas de combinación de los elementos.

Pero Bohr se limitó a admitir sin más la existencia de órbitas fijas con una determinada capacidad de contener electrones, sin demostrar por qué existía este límite en la capacidad.

La explicación a los postulados de Bohr apareció con el nacimiento de una nueva física: la mecánica cuántica. Erwin Schrödinger desarrolló en 1925 las ecuaciones que explicaban que las partículas se comportan en realidad como ondas de probabilidad (ver esta entrada para una introducción a la dualidad onda-partícula y el significado de la función de onda).

En el modelo atómico de Schrödinger, que es básicamente el admitido hoy en día, los electrones pasan a ser 'nubes' de cierta densidad que se acomodan en ciertas regiones alrededor de los átomos llamadas orbitales. Estos orbitales son las únicas soluciones posibles a las ecuaciones ondulatorias de Schrödinger y esto explica por qué las partículas eléctricas no pueden situarse en otras órbitas. 

Sin embargo, las ecuaciones de Schrödinger no explicaban porqué en cada orbital solamente pueden situarse uno o dos electrones, pero no más. 

Para solucionar este 'agujero' del modelo, Wolfgang Ernst Pauli enunció el mismo año (1925) su Principio de Exclusión. Propuso que dos partículas de 'materia' como los electrones no pueden tener nunca el mismo estado cuántico, es decir, no pueden tener la misma función de onda. Los electrones, aunque sean nubes de probabilidad, deben ser impenetrables.

El mismo año 1925 se propuso que los electrones deben tener una propiedad, no detectada hasta entonces, llamada espín (spin en inglés), y pueden estar en dos estados: con espín +1/2 o espín -1/2. Estos dos estados suelen representarse simbólicamente mediante una flecha hacia arriba o hacia abajo.

Gracia a la posibilidad de tener diferente espín, en cada orbital atómico pueden situarse dos electrones, uno con espín positivo y otro negativo (por tanto no tienen exactamente el mismo estado cuántico y no les afecta la exclusión de Pauli). Pero ya no caben más variaciones en ese orbital, por lo cual otros electrones tienen que situarse en orbitales diferentes.

Fermiones y bosones

Pronto se vio que las demás partículas de 'materia' como protones, neutrones, positrones, neutrinos, etc. también cumplían el principio de exclusión o 'impenetrabilidad' de Pauli. De hecho es por eso que las consideramos 'materia' y que pueden construir estructuras que ocupan espacio a expensas de otras partículas de materia.

Todas estas partículas 'impenetrables' tienen una característica común: su espín no es entero, sino fraccionario, y se llaman fermiones. Los fermiones se agrupan en varias familias donde se encuentran tanto los ligeros leptones (electrones y neutrinos entre ellos) como los más pesados quarks, que forman protones, neutrones y otras partículas más exóticas.

Por otro lado, se vio que las demás partículas/ondas conocidas, las que no cumplen el principio de exclusión, tienen un valor de espín entero (0, 1, 2...). Son los llamados bosones.

Podríamos decir que los fermiones tienen un 'espacio personal' en el que no les gusta que entren otros fermiones, mientras que los bosones son como 'fantasmas' gregarios a los que les da igual atravesarse y amontonarse.

¿Que papel juegan los bosones? Aunque no pueden formar estructuras, los bosones interactúan con los fermiones, llevando energía de unos a otros, es decir, son los intermediarios de las cuatro fuerzas fundamentales de las que se derivan todas las que observamos en la naturaleza; aunque el modelo cuántico de la gravedad, basado en un hipotético bosón llamado gravitón, aún está por comprobar.

Esta reducción de las formas de materia y fuerza a unas pocas familias de partículas conforma el llamado modelo estándar, que se ha visto vindicado por el descubrimiento largamente anunciado del bosón de Higgs, una partícula que interactúa con las demás partículas para dotarlas de masa.

Por cierto, que algún genio del humor ha tenido la idea de eliminar los bosones de Higgs para conseguir la ansiada pérdida de peso (ja, ja).

También resulta tentador pensar que podrían existir tipos desconocidos de bosones que no interactuarían con la materia, que no serían portadores de ninguna fuerza en particular, y que por tanto podrían llenar el espacio en grandes cantidades sin otro efecto que su atracción gravitatoria. En otras palabras, podrían formar la llamada materia oscura que constituye el 23% de la masa-energía del universo.

Pero, volviendo a nuestro tema, ¿por qué esa misteriosa propiedad del espín tiene un efecto tan dramático sobre la forma en que se comportan las partículas? ¿Y cuál es la causa de que dos 'nubes de probabilidad' de dos fermiones no puedan encontrarse en el mismo estado? ¿Quién o qué lo prohibe?

Aunque Pauli formuló en 1925 el principio de exclusión, salvando el modelo atómico cuántico y la estabilidad del universo  :-) no pudo demostrar entonces por qué el espín no entero de las partículas produce la 'impenetrabilidad'.

Pauli tuvo que esperar hasta el desarrollo de la Teoría Cuántica de Campos para poder demostrar en 1940 el porqué de la exclusión, probando el llamado Teorema de Estadística del Espín.

Vamos a ver de forma simplificada en qué consiste este teorema, y luego veremos por qué explica la impenetrabilidad.

El Teorema de la Estadística del Espín para principiantes

El teorema afirma que:

• Si intercambiamos entre sí dos partículas de espín semientero (fermiones), la función de onda combinada de la pareja cambia de signo.
• Si intercambiamos dos partículas de espín entero (bosones), la función de onda combinada NO cambia de signo.

Como veremos en el siguiente punto, el hecho de que la función de onda combinada cambie o no de signo es precisamente lo que causa el diferente comportamiento de bosones y fermiones respecto a la penetrabilidad.

La demostración del teorema es difícil de entender para los no iniciados (como yo), pero intentaré dar una idea.

La clave es la misteriosa propiedad del espín, que significa 'giro' en inglés, como el giro de una peonza. En la física clásica podríamos pensar en una partícula como una bolita con carga eléctrica, y la misma teoría clásica nos dice que al girar esta bola crearía un campo magnético orientado según su eje de giro, con un sentido que depende de si la bola gira 'a derechas' o 'a izquierdas' respecto al eje:

Sin embargo, esta explicación clásica no es válida para las partículas elementales, por varias razones:

• Clásicamente, el espín debería poder tomar cualquier valor, según su velocidad de giro. Sin embargo, según lo observado, las partículas elementales solo puede tener un valor determinado de espín, ni más ni menos. El espín está cuantizado. Lo único que puede cambiar es su signo, positivo o negativo.
• En la explicación clásica el espín tiene un eje definido de giro. Sin embargo, en las observaciones realizadas el eje del espín es definido por el experimento (según se orienta el campo magnético del detector) y el resultado es que el espín se orienta en el mismo sentido del campo magnético con el que se mide (valor +1/2 para un electrón) o en sentido contrario (valor -1/2), pero en ninguna otra dirección.

Por tanto el espín es una propiedad numérica intrínseca de las partículas como la carga o la masa, que puede tomar en cada caso un único valor positivo o negativo (si es diferente de cero, claro).

Lo que nos importa para el Teorema relacionado con la impenetrabilidad es que el spin tiene que ver con cómo la partícula cambia al girar, en realidad, con la forma en que su función de onda probabilística cambia cuando la partícula gira en el espacio.

Las partículas de espín entero, los bosones, aparentemente no tienen ningún misterio. Su función de probabilidad, que define todas sus propiedades, no cambia cuando la partícula da un giro completo de 360 grados. Esto parece lo más intuitivo.

Pero los fermiones, con un espín semientero, se comportan de una forma curiosa. Al dar una vuelta de 360 grados su función de onda invierte su signo. Esta inversión no tiene en sí misma un efecto observable, ya que la probabilidad de un estado viene dada por el cuadrado de la función de onda, y por tanto da igual que ésta sea positiva o negativa. Sin embargo, como veremos, la inversión tiene importantes efectos al combinarse con la función de otras partículas, igual que sucedía en las interacciones que causan las fuerzas.

Por ejemplo, para que un electrón que ha dado un giro de 360 grados vuelva a tener el mismo estado que al principio, es necesario que dé otra vuelta de 360 grados. Esto es lo que significa que su espín es 1/2. Son necesarias dos vueltas para dejarlo igual.

Esta propiedad puede parecer anti-intuitiva. Sin embargo,  podemos comprobarla en nuestra vida cotidiana, como muestra este vídeo:

La demostración con el vaso de agua apunta al hecho de que el espín semientero está relacionado con propiedades topológicas de las partículas respecto al espacio que las rodea, como si la partícula estuviera ligada o atada de alguna forma al espacio.

El físico Paul Dirac, uno de los pioneros de la física cuántica, lo explicaba suponiendo que la partícula de espín semientero estaba pegada a un cinturón. Dirac se dio cuenta que con un giro de 360 grados, la partícula se enredaba irremisiblemente, pero dando otro giro completo llegaba a un estado en el que el cinturón se podía desenredar para volver al mismo estado inicial. Esta animación lo demuestra:

Este video demuestra de forma casera el efecto restaurador de la doble vuelta, tanto con el vaso de agua como con el cinturón:

Bien, pues llegamos a la clave de la explicación del teorema. Resulta que si tenemos dos fermiones, al intercambiar uno con otro causamos el mismo efecto sobre la función de onda completa que cuando damos un giro de 360 grados a un solo fermión: el signo de la función se invierte. Sin embargo, si intercambiamos de nuevo los fermiones, dejándolos en la posición original, el enredo de su función de onda desaparece. Este vídeo lo muestra de forma gráfica:

Aunque la prueba real es mucho más complicada, vemos claramente que existe una relación entre el espín 1/2 de las partículas girando 360 grados y la forma en que se comportan al intercambiar su posición con otra partícula idéntica. En ambos casos se invierte el signo de la función de onda, y esto es lo que prueba el teorema.

Cambio de signo y exclusión

Ya solo nos queda por explicar por qué el cambio de signo en la onda de probabilidad hace que dos partículas de tipo fermión no puedan tener el mismo estado cuántico, que no puedan estar 'en el mismo sitio'. Aquí podéis seguir la demostración de manera sencilla con notación moderna. De este artículo he adaptado la siguiente explicación.

Imaginemos dos estados cuánticos (dos funciones de onda) a y b, por ejemplo, dos órbitas alrededor de un núcleo atómico, e imaginemos que estos estados pueden estar ocupados respectivamente por dos electrones Ψ1 y Ψ2:

El estado combinado, la función de onda total de los dos sería el resultado de multiplicar las funciones de los dos electrones, cada uno en su estado. Suponiendo que el electrón 1 está en el estado a y electrón 2 en el estado b:

Ψ(a,b) = Ψ1(a) Ψ2(b)

Como hemos visto en el teorema anterior, al ser partículas de espín semientero, si intercambiamos los estados a y b de cada electrón (cambiamos los electrones de órbita) la función de onda total se invertiría de signo:

Ψ(b,a) = -Ψ1(a) Ψ2(b)

Ahora consideremos la suma de ambas:

Ψ(a,b) + Ψ(b,a) = Ψ1(a) Ψ2(b) - Ψ1(a) Ψ2(b)

En el lado derecho de la igualdad estamos restando dos términos iguales, por tanto el resultado es cero:

Ψ(a,b) + Ψ(b,a) = 0

Esto nos dice que es imposible (la probabilidad es cero) que los electrones Ψ1 y Ψ2 ocupen dos estados a y b de una forma y de su inversa, al mismo tiempo. Pero si sustituimos b por a en la ecuación anterior, considerando qué pasaría si estuvieran los dos electrones en un mismo estado a, obtenemos:

Ψ(a,a) + Ψ(a,a) = 2 Ψ(a,a) = 0

Y por tanto, dividiendo por 2 a ambos lados de la segunda igualdad:

Ψ(a,a) = 0

Es decir, la probabilidad de que dos electrones estén en el mismo estado es nula: sus funciones de onda se cancelarían debido al cambio de signo asociado a su espín semientero. Como queríamos demostrar.

Para evitar esta posibilidad aparece una fuerza repulsiva, la 'impenetrabilidad', que no es realmente una interacción entre los electrones sino un efecto de la imposibilidad de combinar sus funciones de probabilidad.

Por otra parte, para los bosones tendríamos que no hay cambio de signo al invertir las posiciones, y por tanto:

Ψ(a,b) + Ψ(b,a) = Ψ1(a) Ψ2(b) + Ψ1(a) Ψ2(b) = 2 (Ψ1(a) Ψ2(b))

Y sustituyendo b por a:

Ψ(a,a) + Ψ(a,a) = 2 (Ψ1(a) Ψ2(a))   de donde

Ψ(a,a) = Ψ1(a) Ψ2(a)

Es decir, los dos bosones Ψ1 y Ψ2 pueden estar en el mismo estado a sin problema alguno.

Cambiando de identidad

Hay muchas pruebas experimentales de que el comportamiento de 'impenetrabilidad' está relacionado con el espín de las partículas. El efecto más impresionante sucede cuando al combinarse varios fermiones el espín total pasa a ser entero, y esto hace que lo que antes era materia ordinaria pase a comportarse como bosones, sin miedo a mezclarse en el mismo estado.

Por ejemplo, los protones y neutrones son combinaciones de 3 quarks de espín semientero (y por tanto la suma es también semientera), pero hay otras partículas que se forman por la combinación de un quark y un antiquark: se llaman mesones.

Según se sumen o se resten los espines 1/2 de sus dos quarks, los mesones tienen espín total 0 ó 1, y por tanto se comportan como si fueran bosones. A pesar de que tienen masa, pueden combinarse en el mismo estado. Su comportamiento gregario es un efecto de su espín entero.

Sin embargo, los comportamientos bosónicos de los mesones son difíciles de observar, porque se desintegran muy rápidamente.

Los que sí se pueden observar son los estados de condensado de Bose-Einstein, que se consideran un estado diferente de la materia (en realidad, un estado en el que la materia deja de ser materia y pasa a ser una combinación de bosones, perdiendo la resistencia a la impenetrabilidad).

Este estado se consigue al enfriar la materia a muy bajas temperaturas. Al decrecer la vibración de las partículas y átomos, éstos pueden emparejarse, sumándose sus espines semienteros y pasando a comportarse como bosones.

Este video lo explica magníficamente:

Un ejemplo muy conocido es el de los materiales superconductores. Al enfriarse, sus electrones libres se emparejan (pares de Cooper), actuando como bosones. Al perder su resistencia a la penetrabilidad circulan por el conductor sin resistencia alguna, pudiendo crear fuertes campos magnéticos usados para levitación magnética, aceleradores de partículas, etc.

Otro ejemplo, muy espectacular, es el de los superfluidos como el helio líquido enfríado cerca del cero absoluto. Su comportamiento cambia radicalmente a muy baja temperatura, perdiendo toda su viscosidad y haciendo cosas extrañas como subirse solo por las paredes de los recipientes que lo contienen para igualar su nivel con el líquido que hay fuera (un resultado del efecto túnel cuántico).

Por tanto vemos que la diferencia entre fermiones y bosones, entre materia y pura energía, no es tan clara como podría parecer.

De hecho, en el camino hacia la unificación de todas las partículas, de una teoría del todo, el último paso a dar sería la demostración de que los bosones y fermiones pueden, en las altas energías que dieron lugar al Big Bang, unificarse y confundirse: es la llamada supersimetría, teoría que predice nuevas partículas que quizás sean encontradas por la versión mejorada del LHC.

En otra ocasión hablaremos con más detalle de la supersimetría. 

De momento, os dejo hasta Septiembre mientras disfrutamos de un merecido descanso.

   Salvador